Loi Gamma

Modèle:Infobox Distribution statistiques En théorie des probabilités et en statistiques, une distribution Gamma ou loi Gamma est un type de loi de probabilité de variables aléatoires réelles positives. La famille des distributions Gamma inclut, entre autres, la loi du χ² et les distributions exponentielles et la distribution d'Erlang. Une distribution Gamma est caractérisée par deux paramètres Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et qui affectent respectivement la forme et l'échelle de la représentation graphique de sa fonction de densité.

Les distributions Gamma sont utilisées pour modéliser une grande variété de phénomènes, et tout particulièrement les phénomènes se déroulant au cours du temps où par essence, le temps écoulé est une grandeur réelle positive ; c'est le cas par exemple dans l'analyse de survie.

Définition

Paramétrage avec la forme k et l'échelle Modèle:Mvar

Soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux réels strictement positifs. Une variable aléatoire Modèle:Mvar suit une loi Gamma de paramètres Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, ce que l'on note aussi $X\sim \mathrm{\Gamma }(k,\theta )$ (où Modèle:Math est la majuscule de la lettre grecque gamma) si sa fonction de densité de probabilité peut se mettre sous la forme :

pour tout Modèle:Math. Dans l'expression ci-dessus, Modèle:Math désigne la fonction Gamma d'Euler. Le paramètre k s'appelle le paramètre de forme, et le paramètre Modèle:Mvar est un paramètre d'échelle.

Paramétrage avec la forme Modèle:Mvar et l'intensité Modèle:Mvar

Alternativement, la distribution Gamma peut être paramétrée à l'aide d'un paramètre de forme Modèle:Mvar et d'un paramètre d'intensité $\beta =1/\theta$ (Modèle:Lang) :

Les deux paramétrages sont répandus, selon le contexte. On note la même notation $\mathrm{\Gamma }(k,\theta )$ et $\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$ pour la loi pour les deux paramétrages. La notation est ambigüe, mais elle dépend du paramétrage choisi.

Propriétés

Moyenne et variance

La moyenne (espérance) d'une distribution gamma est le produit des paramètres de forme et d'échelle :

$\mu =k\theta =\alpha /\beta$

La variance est donnée par :

${\sigma }^2=k{\theta }^2=\alpha /{\beta }^2$

L'inverse de la racine carré du paramètre de forme donne le coefficient de variation :

$\sigma /\mu =1/\sqrt{k}=1/\sqrt{\alpha }$.

Coefficient d'asymétrie

Le coefficient d'asymétrie d'une distribution gamma ne dépend que du paramètre de forme et vaut $2/\sqrt{k}.$

Moments

Pour tout n entier, le n-ième moment vaut :

$\mathrm{E}[X^n]={\theta }^n\frac{\mathrm{\Gamma }(k+n)}{\mathrm{\Gamma }(k)}={\theta }^n\prod _{i=1}^n(k+i-1)$.

Somme

Si chaque Modèle:Mvar suit la loi Modèle:Math pour i = 1, 2,...,  N, et si les variables aléatoires Modèle:Mvar sont indépendantes, alors :

Changement d'échelle

Soit Modèle:Mvar une variable aléatoire qui suit une loi gamma de paramètres de forme k et d'échelle θ. Alors pour tout Modèle:Math, la variable Modèle:Mvar est distribuée selon une loi $\mathrm{\Gamma }(k,t\theta )$ de paramètre de forme k et d'échelle tθ. Dit autrement pour le paramétrage (α, β), si Modèle:Mvar suit une loi gamma de paramètres de forme α et d'intensité β, alors Modèle:Mvar est distribuée selon une loi de paramètre de forme $\alpha$ et d'intensité β/t, que l'on note également $\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta /t)$.

Lien avec les autres distributions

Contraintes sur les paramètres

• Si $X\sim \mathrm{\Gamma }(k=1,\theta =1/\lambda )$, alors Modèle:Mvar a une distribution exponentielle de paramètre Modèle:Math. En effet, pour $k=1$, l'expression de la densité $f(x;k,\theta =\frac{1}{\lambda })=\frac{x^{k-1}{\mathrm{e}}^{-x/\theta }}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)}=\frac{x^{k-1}{\lambda }^k{\mathrm{e}}^{-\lambda x}}{\mathrm{\Gamma }(k)}$ devient $\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}$. Il s'agit bien de la densité de probabilité de la distribution exponentielle de paramètre Modèle:Math.
• Si $X\sim \mathrm{\Gamma }(k=\nu /2,\theta =2)$, alors Modèle:Mvar est identique à une variable qui suit Modèle:Math, la loi du χ² avec Modèle:Mvar degrés de liberté.
• Si Modèle:Mvar est un entier, la loi Gamma est une distribution d'Erlang.
• Si $X^2\sim \mathrm{\Gamma }(3/2,2a^2)$, alors Modèle:Mvar a une distribution de Maxwell-Boltzmann avec comme paramètre Modèle:Mvar.Modèle:Douteux

Autres manipulations

• Si X a une distribution Γ(k, θ), alors 1/X a une distribution loi gamma inverse, de paramètres k et Modèle:Math.
• Si X et Y sont distribuées indépendamment selon des lois Γ(α, θ) et Γ(β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) a une distribution beta de paramètres α et β.
• Si XModèle:Ind sont distribuées selon des lois Γ(αModèle:Ind, θ) respectivement, alors le vecteur (XModèle:Ind / S,  ...,  XModèle:Ind / S), où S = XModèle:Ind + ... + XModèle:Ind, suit une distribution de Dirichlet de paramètres αModèle:Ind,  ...,  αModèle:Ind.
• Pour k grand, la distribution Gamma converge vers une loi normale, de moyenne $\mu =(k-1)\theta$ et de variance ${\sigma }^2=(k-1){\theta }^2$. De plus, quels que soient k et θ, en fixant de cette manière les constantes $\mu$ et $\sigma$, les densités de probabilité de la distribution Gamma Γ(k, θ) et de la loi normale $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ ont alors deux points d'inflexion aux mêmes abscisses, à savoir $\mu +\sigma =\theta (k-1)+\theta \sqrt{k-1}$ et $\mu -\sigma =\theta (k-1)-\theta \sqrt{k-1}$.

Propriété de concentration

Si $X\sim {\chi }^2(k)$, alors pour tout $t>0$, $\mathbb{P}(X\ge k+2\sqrt{kt}+2t)\le {\mathrm{e}}^{-t}$ et $\mathbb{P}(X\le k-2\sqrt{kt})\le {\mathrm{e}}^{-t}$.

Généralisation

Une loi Gamma généralisée a été définie avec un troisième paramètre: Modèle:Retrait afin de réunir dans une même famille la loi Gamma, la loi de Weibull et la loi exponentielle.