Gradient

Deux exemples de champs scalaires représentés en tons de gris plus foncés pour les valeurs les plus hautes, et les gradients représentés par des flèches bleues : chacune pointe dans la direction où le champ scalaire croît le plus vite.

La fonction de deux variables Modèle:Math est représentée ici par une carte thermique montrant les valeurs les plus élevées avec des couleurs chaudes, avec son gradient représenté par les flèches bleues : chacune pointe dans la direction où la température croît le plus vite.

En mathématiques et en physique, le gradient d'une fonction de plusieurs variables est un champ de vecteurs qui combine en chaque point les différentes dérivées partielles et donne ainsi à la fois la direction de la variation la plus forte localement et l’intensité de cette variation. Pour une fonction représentant l’altitude, il suit les lignes de plus grande pente (dans le sens de la montée), avec une norme égale à cette pente. Lorsque la fonction ne dépend que d’une seule variable réelle, le gradient se confond avec la dérivée usuelle, comme en météorologie où le gradient de température est assimilé au taux de variation de la température selon l'altitude.

Le gradient d’une fonction Modèle:Mvar est noté Modèle:Math ou avec l’opérateur nabla $\mathrm{\nabla }f$, parfois avec des flèches suscrites.

En chaque point où il est défini, le produit scalaire avec le gradient constitue la différentielle de la fonction, c’est-à-dire la partie linéaire de son développement limité à l’ordre 1. Par exemple, pour une fonction de trois variables admettant des dérivées partielles en un point Modèle:Mvar, pour une petite variation Modèle:Math, on trouve

$f(a+h)-f(a)\approx \mathrm{d}{f}_a(h)=⟨\mathrm{\nabla }{f}_a,h⟩=\frac{\partial f}{\partial x}(a)h_1+\frac{\partial f}{\partial y}(a)h_2+\frac{\partial f}{\partial z}(a)h_3.$

Cette méthode permet d'approcher localement une fonction de plusieurs variables par une forme linéaire.

La notion s’étend aux fonctions réelles définies sur une variété riemannienne.

Le gradient est toujours orthogonal aux lignes de niveau ou aux isosurfaces. Il permet aussi d’exprimer des conditions d’optimisation sous contrainte et intervient dans des méthodes d’analyse numérique pour obtenir des suites minimisantes.

Motivation

En physique et en analyse vectorielle, le gradient est un vecteur indiquant comment une grandeur physique varie dans l'espace. Le gradient est d'une importance capitale en physique, qui l'employa avant les autres disciplines. En théorie des variations, il est aussi fondamental dans le domaine de l'optimisation ou de la résolution d'équations aux dérivées partielles.

En sciences de la Terre, le gradient est utilisé pour la variation dans toutes les directions d'un paramètre de la lithosphère, de l'hydrosphère, de l'atmosphère, ou de la biosphère. Cependant, le terme est souvent employé pour la composante dans une seule direction, comme dans le cas de la dérivée verticale d'une grandeur physique, Modèle:Cad sa dérivée par rapport à la coordonnée $z$ (altitude ou profondeur). Par exemple, le gradient géothermique est la dérivée $\frac{\partial T}{\partial z}$ fois $\overrightarrow{\mathrm{k}}$, où $T$ est la température et $\overrightarrow{\mathrm{k}}$ un vecteur unitaire vertical.

Définition

Le champ scalaire Modèle:Math est représenté par la nappe orange. Le gradient de Modèle:Mvar est un champ vectoriel, représenté par les flèches bleues ; chacune pointe dans la direction où Modèle:Mvar croît le plus vite.

Dans un système de coordonnées cartésiennes euclidien, le gradient d'une fonction Modèle:Mvar différentiable au point $a=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ est le vecteur noté $\mathrm{\nabla }f(a)$ de composantes les $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ (où Modèle:Math), Modèle:Cad les dérivées partielles de Modèle:Mvar par rapport aux coordonnéesModèle:,, au point Modèle:Mvar :

$$\mathrm{\nabla }f(a)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\end{array}\right].$$

Dans un repère orthonormé, si le vecteur gradient n'est pas nul, alors il pointe dans la direction où la fonction croît le plus rapidement, et sa norme est égale au taux de croissance dans cette direction.

Les composantes du gradient de Modèle:Mvar sont les coefficients des variables dans l'équation réduite de l'espace tangent au point Modèle:Mvar au graphe de Modèle:Mvar. Cette propriété lui permet d'être défini indépendamment du choix du système de coordonnées, en tant que champ de vecteurs dont les composantes se transforment lors du passage d'un système de coordonnées à un autre.

La généralisation du gradient aux fonctions différentiables de plusieurs variables et à valeurs vectorielles (et aux applications différentiables entre espaces euclidiens) est la matrice jacobienne. La généralisation aux fonctions entre espaces de Banach est la dérivée de Fréchet.

Notations

Notation vectorielle

• La dérivée ou différentielle d'une fonction Modèle:Mvar en un point Modèle:Mvar est généralement notée :

Modèle:Math ou Modèle:Math ou $\mathrm{D}{f}_a$ ou ${\mathrm{D}}_{a}f$ ou ${𝒟}_{a}f$

ou, abusivement puisqu'elle n'est pas infinitésimale :

Modèle:Math ou $\mathrm{d}{f}_a$ ou ${\mathrm{d}}_{a}f.$

• Le gradient d'une fonction Modèle:Mvar en un point Modèle:Mvar est généralement noté :

$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f(a)$ ou $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f(a)$ ou ${\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}}_{a}f$ ou ${\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_{a}f$.

Le symbole ∇ est appelé nabla. Dans la littérature en anglais, ou parfois en français par commodité typographique, on préfère mettre en gras le symbole du gradient pour signifier son caractère vectoriel :

$𝐠𝐫𝐚𝐝f$ ou Modèle:Math.

Notation tensorielle

En notation tensorielle, le vecteur position $\overrightarrow{x}$, contravariant, s'écrit $x^n$ (indice $n$ en position supérieure, $n$ variant de 1 au nombre de dimensions de l'espace). Le gradient $\overrightarrow{g}$ d'un champ scalaire $f(\overrightarrow{x})$, écrit $f(x^n)$ en notation tensorielle, est covariant et s'écrit donc $g_n$ (indice $n$ en position inférieure). La définition du gradient s'écrit alors :

$g_n=\frac{\partial f}{\partial x^n}$.

Avec la convention de sommation d'Einstein, la variation infinitésimale de $f$ s'écrit :

$\mathrm{d}f=g_n\mathrm{d}{x}^n$.

Exemple : le gradient de température

Le gradient de température, ou gradient thermique, est le gradient de la température en tant que fonction scalaire des coordonnées spatiales (lui est une fonction vectorielle de ces coordonnées).

Gradient dans une seule direction (dérivée)

Supposons que l'on place une poutre rectiligne entre deux murs qui n'ont pas la même température, le mur de gauche étant le plus froid. On observe que, sur la poutre, la température varie dans le temps, et dans l'espace : elle augmente de la gauche vers la droite. À ce phénomène thermodynamique, on associe un phénomène de flux de chaleur, lui-même lié à un gradient de température, Modèle:Cad à une variation de la température le long de la poutre (cf. Conduction thermique, Loi de Fourier).

À un instant fixé, à chaque point Modèle:Formule de la poutre, on attribue une abscisse Modèle:Formule ; par exemple, à l'extrémité gauche, l'abscisse Modèle:Math, et à l'extrémité droite, l'abscisse Modèle:Formule (longueur de la poutre). En chaque point Modèle:Formule de la poutre, on considère la température Modèle:Formule ; autrement dit, Modèle:Formule est fonction de Modèle:Formule.

Entre deux points distants d'une très petite longueur Modèle:Formule, on mesure un écart de température Modèle:Formule. Au sens usuel, le gradient (de température) est le rapport entre ces deux grandeurs :

$\overrightarrow{\mathrm{grad}}T=\frac{\delta T}{\delta x}\overrightarrow{\mathrm{i}}.$

Au sens analytique (mathématique), on parle de gradient si ce rapport admet une limite quand Modèle:Formule tend vers 0, limite notée :

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T(x)=T^{\prime }(x)\overrightarrow{\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}(x)\overrightarrow{\mathrm{i}}.$

On écrit la variation le long de Modèle:Formule comme l'approximation (dite du premier ordre) :

$T(x+\delta x)-T(x)=\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}(x)\delta x+o(\delta x),$

où $o(\delta x)$ signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à $\delta x.$

Propriétés

• Le rapport $\frac{\delta T}{\delta x}$ a un signe, qui correspond à un sens. Dans notre poutre, la température augmente de gauche à droite, donc le gradient est orienté vers la droite ; l'axe des Modèle:Formule aussi est orienté de gauche à droite, donc $\frac{\delta T}{\delta x}>0.$
• En dimension 1, les notions de gradient et de dérivée sont équivalentes.
• En physique, la norme de ce gradient est homogène à une température divisée par une distance (mesurée en K·m⁻¹, ou plus usuellement en °C·m⁻¹).

Gradient de température dans l'espace à trois dimensions usuel

En réalité, la température d'un point de la poutre varie en fonction d'un déplacement dans l'espace. On caractérise un point Modèle:Formule de l'espace par ses coordonnées cartésiennes : Modèle:Formule. « Comme » précédemment, la température est fonction des coordonnées de Modèle:Formule : Modèle:Formule.

Pour chacune de ces directions, on peut écrire une variation, dite partielle. Si, tout en étant en 3D, on ne se déplace que selon un axe, par exemple selon les ordonnées Modèle:Formule, alors on peut réécrire la même formule que précédemment sur l'accroissement de température. Cependant, pour noter la variation, on passe par l'écriture en dérivée partielle (dite ronde) plutôt que par la dérivée unidimensionnelle (dite droite). On écrit la variation le long de Modèle:Formule comme l'approximation (dite du premier ordre) :

$T(x,y+\delta y,z)-T(x,y,z)=\frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z)\delta y+o(\delta y),$

où $o(\delta y)$ signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à $\delta y.$

Plus généralement, on se déplace dans l'espace d'un point Modèle:Formule à un point Modèle:Formule, et la température passe de Modèle:Formule à Modèle:Formule. En première approximation, cette variation est une fonction linéaire de $\overrightarrow{h}=\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\delta \overrightarrow{\mathrm{O}M}=(\delta x,\delta y,\delta z)$, et s'exprime donc comme somme algébrique des variations liées à chacune des composantes de $\overrightarrow{h}:$

$T(x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z)-T(x,y,z)=\frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z)\delta x+\frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z)\delta y+\frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z)\delta z+o(\Vert \overrightarrow{h}\Vert ),$

où $o(\Vert \overrightarrow{h}\Vert )$ signifie que le terme qui reste est négligeable par rapport à $\Vert \overrightarrow{h}\Vert .$

Soit $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T(x,y,z)=(\frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z))$ le vecteur gradient de température. On peut alors réécrire la relation précédente sous la forme :

$T(M+\overrightarrow{h})-T(M)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T(M)\cdot \overrightarrow{h}+o(\Vert \overrightarrow{h}\Vert ),$

où $\text{«}\cdot \text{»}$ désigne le produit scalaire usuel sur ${ℝ}^3.$

Propriétés

• Le gradient est un vecteur de même dimension que l'espace sur lequel porte la température (ici ℝModèle:3), alors que la température est à valeurs scalaires (Modèle:Cad que la température en un point est un nombre, pas un vecteur).
• La direction du (vecteur) gradient définit de nouveau la direction du plus froid au plus chaud, mais cette fois en 3D.
• La norme du gradient de température est toujours homogène à Modèle:Unité.

Introduction par les éléments différentiels

Comme pour la différentielle dont il est une variante, le gradient peut être introduit avec le vocabulaire des éléments différentiels. À titre d'exemple, examinons le problème de la variation de l'aire d'un rectangle.

Dans le plan (Modèle:Formule), considérons un rectangle de côtés Modèle:Formule et Modèle:Formule. Sa surface Modèle:Formule est égale à Modèle:Formule ; elle dépend donc des coordonnées du point Modèle:Formule. En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par Modèle:Formule (resp. Modèle:Formule) une variation infinitésimale de la variable Modèle:Formule (resp. Modèle:Formule). Lorsque le point Modèle:Formule fait un déplacement infinitésimal, la surface varie de façon infinitésimale, et on peut écrire que :

$S+\mathrm{d}S=(x+\mathrm{d}x)(y+\mathrm{d}y)=xy+x\mathrm{d}y+y\mathrm{d}x+\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

On en déduit facilement que :

$\mathrm{d}S=y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y+\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

Une simple application numérique où Modèle:Formule et Modèle:Formule seraient des mètres et Modèle:Formule et Modèle:Formule des centimètres illustre que Modèle:Formule est négligeable par rapport aux autres grandeurs.

On peut donner un statut mathématique précis aux notations Modèle:Formule et Modèle:Formule (qui sont des formes différentielles), et à la quantité Modèle:Formule (qui est alors du second ordre). Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction Modèle:Formule par rapport à ses deux variables. En négligeant Modèle:Formule, on obtient donc :

$\mathrm{d}S\approx y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=(y,x)\cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)=(\frac{\partial (xy)}{\partial x},\frac{\partial (xy)}{\partial y})\cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}S\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{O}M},$

où $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}S=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}S.$

Bien sûr, on peut utiliser des notations un peu différentes :

$\mathrm{d}S\approx y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=(y\overrightarrow{\mathrm{i}}+x\overrightarrow{\mathrm{j}})\cdot (\mathrm{d}x\overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{d}y\overrightarrow{\mathrm{j}})=(\frac{\partial (xy)}{\partial x}\overrightarrow{\mathrm{i}}+\frac{\partial (xy)}{\partial y}\overrightarrow{\mathrm{j}})\cdot (\mathrm{d}x\overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{d}y\overrightarrow{\mathrm{j}})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(xy)\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{O}M},$

où $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(xy)=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}(xy).$

Lignes de niveaux Modèle:Math et Modèle:Math de la fonction $f:(x,y)\mapsto xy$, avec les tangentes et les gradients en Modèle:Math et Modèle:Math. Les directions des tangentes sont celles de variation nulle ; les directions des gradients sont celles de variation maximale.

L'intérêt d'introduire ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs variables est de montrer que :

• la fonction varie le plus si le point se déplace dans la direction du vecteur gradient ;
• elle ne varie presque pas s'il se déplace dans toute direction perpendiculaire au gradient.

En effet : $(y\overrightarrow{\mathrm{i}}+x\overrightarrow{\mathrm{j}})\perp (\mathrm{d}x\overrightarrow{\mathrm{i}}+\mathrm{d}y\overrightarrow{\mathrm{j}})⟺y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=0,$ « Modèle:Cad » $\mathrm{d}S\approx 0.$

En électrostatique, ceci donne les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ».

En mathématiques pures

Gradient dans un espace euclidien

Contexte

Soient Modèle:Formule un espace vectoriel euclidien, Modèle:Formule un ouvert de Modèle:Formule, et une fonction $f:U\to ℝ$, différentiable en un point Modèle:Formule de Modèle:Formule. On note ${\mathrm{D}}_{a}f$ la différentielle en Modèle:Formule de Modèle:Mvar ; c'est une forme linéaire sur Modèle:Formule. On note ${\mathrm{D}}_{a}f\left(h\right)$ l'image par cette différentielle d'un vecteur Modèle:Formule de Modèle:Formule.

Existence et unicité

Il existe un unique vecteur Modèle:Formule tel que pour tout vecteur Modèle:Formule de Modèle:Formule, ${\mathrm{D}}_{a}f\left(h\right)=⟨A\mid h⟩$, où $⟨\cdot \mid \cdot ⟩$ désigne le produit scalaire sur Modèle:Formule.

Le vecteur Modèle:Formule est appelé le gradient de Modèle:Formule en Modèle:Formule, et il est noté ${\mathrm{\nabla }}_{a}f$. Il vérifie donc :

$\mathrm{\forall }h\in E,⟨{\mathrm{\nabla }}_{a}f\mid h⟩={\mathrm{D}}_{a}f\left(h\right).$

Développement limité

Si une application $f:U\to ℝ$ est différentiable en un point Modèle:Mvar, alors on peut écrire le développement limité de Modèle:Mvar du premier ordre au voisinage de Modèle:Mvar (avec la notation de Landau):

$\mathrm{\forall }h\in E,f(a+h)=f(a)+⟨\mathrm{\nabla }f(a)\mid h⟩+o(\Vert h\Vert ).$

Expression canonique : avec dérivées partielles

Puisque le gradient est lui-même un vecteur de Modèle:Formule, il est naturel qu'on cherche à l'exprimer dans une base orthonormée $({𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n)$ de cet espace vectoriel. On démontre qu'il s'exprime à l'aide des dérivées partielles sous la forme :

$\mathrm{\nabla }f(a)=\sum _{i=1}^n[\frac{\partial f}{\partial x_i}(a){𝐞}_i].$

Par exemple, en dimension 3, on obtient :

$\mathrm{\nabla }f(a)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(a){𝐞}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}(a){𝐞}_2+\frac{\partial f}{\partial x_3}(a){𝐞}_3.$

Une propriété fondamentale

Le gradient de Modèle:Mvar désigne la direction où la pente de Modèle:Mvar est la plus grande. Précisément :

Soit un point $a\in U$ tel que Modèle:Mvar est différentiable en Modèle:Mvar et que $\mathrm{\nabla }f(a)\ne 0;$ pour tout vecteur $v\in {ℝ}^n$ tel que $\Vert v\Vert =\Vert \mathrm{\nabla }f(a)\Vert ,$ il existe $\delta >0$ tel que :

$\mathrm{\forall }t\in ]0,\delta [,f(a+tv)\le f(a+t\mathrm{\nabla }f(a)).$

Changement de paramètres

Soit $f:x\in E\mapsto f(x)\in ℝ$ une fonction de classe Modèle:MathModèle:1. Un changement de paramètres consiste à introduire un difféomorphisme $\mathrm{\Phi }:a\in {ℝ}^n\mapsto x=\mathrm{\Phi }(a)\in E$, où Modèle:Formule est la dimension de Modèle:Formule. On exprime alors le gradient de Modèle:Formule dans une base de Modèle:Formule, dite locale, formée des vecteurs $\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial a_i}$, les dérivées partielles étant celle de la fonction composée $f\circ \mathrm{\Phi }$ par rapport aux $a_i$. Si la base locale est orthogonale, on préfère généralement utiliser la base orthonormée associée, obtenue en divisant chaque vecteur de la base locale par sa norme euclidienne.

C'est ainsi que le passage dans le plan en coordonnées polaires permet d'exprimer le gradient en fonction des dérivées partielles de la fonction composée Modèle:Formule par rapport à l'abscisse polaire (Modèle:Formule) et à l'argument (Modèle:Formule), la base utilisée étant constituée du vecteur radial unitaire et de son orthogonal.

En dimension 3, on obtient ainsi les formules suivantes :

• En coordonnées cylindriques (pour les coordonnées polaires, ne pas considérer la composante en Modèle:Formule) :

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial \rho }{𝐞}_{\rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{\partial f}{\partial z}{𝐞}_z,$

qu'on peut aussi noter :

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial \rho }{𝐞}_{\rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \varphi }{𝐞}_{\varphi }+\frac{\partial f}{\partial z}{𝐞}_z,$

tout dépend des notations utilisées. Voir :

• En coordonnées sphériques :

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }{𝐞}_{\varphi };$

les vecteurs de type ${𝐞}_r$ sont utilisés en coordonnées polaires.

Gradient dans un espace de Hilbert

Soient $(H,⟨\cdot \mid \cdot ⟩)$ un espace de Hilbert (de dimension finie ou non), Modèle:Formule un ouvert de Modèle:Formule, et une application $f:U\to ℝ$, différentiable en un point Modèle:Formule de Modèle:Formule. La différentielle Modèle:Math étant, par définition, une forme linéaire continue sur Modèle:Formule, il résulte du théorème de représentation de Riesz qu'il existe un unique vecteur, noté $\mathrm{\nabla }f(a)$, de Modèle:Formule tel que :

$\mathrm{\forall }h\in H,\mathrm{D}f(a)\left(h\right)=⟨\mathrm{\nabla }f(a)\mid h⟩.$

Le vecteur $\mathrm{\nabla }f(a)$ est appelé le gradient de Modèle:Formule en Modèle:Formule.

Une propriété fondamentale

On montre que si $\mathrm{\nabla }f(a)\ne 0$, alors Modèle:Mvar croît strictement dans la direction de $\mathrm{\nabla }f(a)$ en passant par Modèle:Mvar, Modèle:Cad :

Il existe $\alpha >0$ tel que pour tous Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de $]-\alpha ,\alpha [,$

$s<t⟹f(a+s\mathrm{\nabla }f(a))<f(a+t\mathrm{\nabla }f(a)).$

Gradient dans une variété riemannienne

On peut encore étendre cette définition à une fonction définie et différentiable sur une variété riemannienne Modèle:Formule. Le gradient de Modèle:Formule en Modèle:Formule est alors un vecteur tangent à la variété en Modèle:Formule, défini par :

$\mathrm{\forall }h\in {\mathrm{T}}_{a}M,\mathrm{D}f(a)\left(h\right)=g(\mathrm{\nabla }f(a)\mid h).$

Enfin, si Modèle:Formule est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre Modèle:Math, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante :

$(\mathrm{\nabla }f{)}_i={\partial }_{i}f=f_{,i}=f_{;i}.$

En coordonnées contravariantes, on calcule le champ de vecteurs appelé gradient de Modèle:Formule :

$(\mathrm{\nabla }f{)}^i=g^{ij}{f}_{;j}.$

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans tout système de coordonnées.

Propriétés géométriques en dimension 2 ou 3

Classiquement, le gradient permet de définir la « normale aux courbes de niveau », ce qui se traduit en 2D et en 3D par des propriétés géométriques intéressantes. La propriété de tangence étant liée à la convexité/concavité, il est aussi intéressant de voir le lien qui existe entre gradient et convexité, toujours en 2D ou 3D.

En dimension 2 : gradient normal à une courbe en un point, droite tangente

Soient une application $f:{ℝ}^2\to ℝ$ continûment différentiable, et une courbe définie par l'équation Modèle:Formule, où Modèle:Formule est une constante. En un point Modèle:Formule donné de cette courbe, si le gradient existe et s'il n'est pas nul, alors il donne la direction de la normale en Modèle:Formule à la courbe ; la droite tangente en Modèle:Formule à la courbe est alors orthogonale au gradient.

Application au traitement d'image

En dimension 3 : gradient normal à une surface en un point, plan tangent

Soient une application $f:{ℝ}^3\to ℝ$ continûment différentiable, et une surface définie par l'équation Modèle:Formule, où Modèle:Formule est une constante. En un point Modèle:Formule donné de cette surface, si le gradient existe et s'il n'est pas nul, alors il donne la direction de la normale en Modèle:Formule à la surface ; le plan tangent en Modèle:Formule à la surface est alors orthogonal au gradient.

Gradient et convexité

Soient $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (par exemple, Modèle:Formule ou Modèle:Formule), et une application $f:{ℝ}^n\to ℝ$ continûment différentiable. Si l'application $\mathrm{\nabla }f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ est monotone (resp. strictement monotone), alors Modèle:Formule est convexe (resp. strictement convexe), Modèle:Càd, en utilisant la caractérisation par les cordes :

$\mathrm{\forall }(u,v)\in {\left({ℝ}^3\right)}^2,{\mathrm{\nabla }}_{u}f\cdot {\mathrm{\nabla }}_{v}f\ge 0\Rightarrow \mathrm{\forall }(u,v,\lambda )\in {ℝ}^3\times {ℝ}^3\times [0,1],f(\lambda u+(1-\lambda )v)\le \lambda f(u)+(1-\lambda )f(v).$

Cette propriété est intéressante parce qu'elle reste valable même si Modèle:Formule n'est pas deux fois différentiable.

Si Modèle:Formule est deux fois différentiable, le hessien est positif si et seulement si le gradient est monotone.

Cas de la dimension 1

La monotonie telle que définie ci-dessus permet de définir une fonction dérivée croissante ou décroissante au sens usuel. Dans le premier cas, on parle de fonction convexe ; dans le second, de fonction concave.

Si la fonction est deux fois dérivable, la croissance de la dérivée (donc du gradient) est assurée par la positivité de la dérivée seconde (équivalent du hessien).

Relations vectorielles

Modèle:Section sources secondaires En analyse vectorielle, le gradient peut être combiné à d'autres opérateurs : divergence (div), rotationnel (rot), laplacien (Δ). Soit Modèle:Formule une fonction décrivant un champ scalaire, que l'on suppose de classe Modèle:MathModèle:2 par rapport à chaque paramètre ; alors :

$\frac{\partial }{\partial t}\left(\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f\right)=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\frac{\partial f}{\partial t};$

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f\right)=\mathrm{\Delta }f;$

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f\right)=\overrightarrow{0}.$

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:En Serge Lang, Fundamentals of Differential Geometry, Springer
• Modèle:En Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, Modèle:2e éd. révisée Modèle:Isbn

Articles connexes

• Nabla
• Algorithme du gradient
• Analyse vectorielle
• Dérivée directionnelle
• Gradient projeté
• Opérateur laplacien
• Théorème du gradient