Négligeabilité

En analyse mathématique, la Modèle:Terme défini ou Modèle:Terme défini relie deux fonctions à valeurs dans $ℝ$ ou $ℂ$, formalisant la notion que l'une devient insignifiante devant l'autre au voisinage d'un point ou de l'infini.

Par exemple, avec $f:x\mapsto x^2$ et $g:x\mapsto 3x$, quand $x\to \pm \mathrm{\infty }$, $3x$ devient arbitrairement petit devant $x^2$. On dit alors que $g$ est négligeable devant $f$ ou que $f$ est prépondérante devant $g$ au voisinage de l'infini, ce que l'on note $g=\mathrm{\infty }o(f).$

Avec la domination et l'équivalence, la négligeabilité est une relation de comparaison. Elle est transitive, mais n'est ni réflexive, ni symétrique.

Définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur une partie $I$ de $ℝ$ à valeurs dans $ℝ$ ou $ℂ$, et soit $a$ un point adhérent à $I$ ($a$ peut être un réel, $+\mathrm{\infty }$ ou $-\mathrm{\infty }$).

Ce qui est équivalent à  :

Une autre caractérisation plus commode dans le cas où $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ est : Modèle:Énoncé

On écrit alors $f=ao(g)$, qui se lit « $f$ est un petit $o$ de $g$ au voisinage de $a$ ». C'est une des notations de Landau.

Dans le cas où $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ mais s’annule en $a$, f est négligeable devant g au voisinage de $a$ si :

$\underset{\underset{x\ne a}{x\to a}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$ et si $f(a)=0$

Propriétés

• Si $f_1=ao(g)$ et $f_2=ao(g)$ alors $f_1+f_2=ao(g)$.
• Si $f_1=ao(g_1)$ et $f_2=aO(g_2)$ alors $f_1{f}_2=ao(g_1{g}_2)$,

  en particulier, si $f_1=ao(g)$ et $f_2$ est bornée au voisinage de Modèle:Mvar, alors $f_1{f}_2=ao(g)$.

• Si $f=ao(g)$ et $g=aO(h)$, ou si $f=aO(g)$ et $g=ao(h)$, alors $f=ao(h)$

  en particulier, $=ao$ est transitive.

• $f\sim ag\iff f-g=ao(g)\iff f=ag+o(g)$.

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle

Échelle de comparaison

Une échelle de comparaison $E_a$ est une famille de fonctions définies au voisinage de Modèle:Mvar (sauf peut-être en Modèle:Mvar), non équivalentes à 0 en Modèle:Mvar, telle que :

$\mathrm{\forall }(f,g)\in {E_a}^{2}f\ne g\Rightarrow (f=ao(g)\text{ ou }g=ao(f))$.

Définition

Soient Modèle:Mvar une fonction définie dans un voisinage Modèle:Mvar de Modèle:Mvar (sauf peut-être en Modèle:Mvar), ne s'annulant pas sur $V\setminus \{a\}$, et $E_a$ une échelle de comparaison en Modèle:Mvar.

On dit que Modèle:Mvar admet la fonction $g\in E_a$ comme partie principale par rapport à l'échelle $E_a$ s'il existe un réel Modèle:Mvar non nul tel que $f\sim aAg$ (ou $f=aAg+o(g)$).

Propriétés

• Unicité en cas d'existence
• Soient $f_1$ et $f_2$ admettant respectivement $g_1$ et $g_2$ comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison $E_a$.

1. La partie principale de $f_1{f}_2$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a$ est la même que celle de $g_1{g}_2$.
2. Si $g_1=ao(g_2)$ alors $g_2$ est la partie principale de $f_1+f_2$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a$.
3. Si $g_1=g_2$ et $A_1+A_2\ne 0$ alors $(A_1+A_2)g_1$ est la partie principale de $f_1+f_2$ par rapport à l'échelle de comparaison $E_a$.

Comparaison pour les suites

Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur $I=\mathbb{N}$, auquel $a=+\mathrm{\infty }$ est adhérent.

Par conséquent, une suite $(u_n)$ de nombres réels est négligeable devant une suite réelle $(v_n)$ si et seulement si :

il existe une suite $({\epsilon }_n)$ de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang, $u_n={\epsilon }_n{v}_n$

ou encore :

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\ge N|u_n|\le \epsilon |v_n|$,

ce qui, lorsque $(v_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u_n}{v_n}=0$.

On note : $u_n=o(v_n)$.

Voir aussi

• Propriété N de Luzin