P-groupe

Modèle:Titre mis en forme En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p^[1]. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes.

Propriétés

Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe.
Réciproquement, si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.
On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe.
La somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de p-groupes est un p-groupe.
Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.
Dans un p-groupe, si l'indice d'un sous-groupe est fini, alors cet indice est une puissance de p.
Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial (par trivial, on entend réduit à l'élément neutre).
Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
Soit G un p-groupe fini d'ordre pⁿ. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre p^r^[2].

Tout p-groupe fini non abélien possède au moins un^[3] automorphisme non intérieur d'ordre une puissance de p.
Tout automorphisme d'un p-groupe G d'ordre pModèle:Exp induit un automorphisme du quotient de G par son sous-groupe de Frattini Φ(G) = GModèle:Exp[G, G]. Ce quotient est un groupe abélien élémentaire (ℤ/pℤ)Modèle:Exp, dont le groupe d'automorphismes est [[Groupe linéaire#Sur les corps finis|GL(d, FModèle:Ind)]], d'ordre (pModèle:Exp – 1)(pModèle:Exp – p)(pModèle:Exp – pModèle:2) … (pModèle:Exp – pModèle:Exp). Le noyau du morphisme canonique de Aut(G) dans Aut(G/Φ(G)) a pour ordre^[4] un diviseur de pModèle:Exp.
L'exposant d'un p-groupe est une puissance de p.

Remarque^[5] : tout groupe d'ordre p² est soit cyclique, soit produit de deux groupes cycliques d'ordre p.

↑ Cette définition est conforme à Modèle:Harvsp ; Modèle:Harvsp ; Modèle:Harvsp ; Modèle:Harvsp ; M. Reversat et B. Bigonnet, Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés, Dunod, 2000, p. 51. En revanche, N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, ch. I, § 6, n° 5, déf. 9, p. I.72, appelle p-groupe, pour un nombre premier p donné, un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p. Cette définition de Bourbaki figure aussi dans Modèle:En S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1978, p. 2 et Modèle:Harvsp.
↑ Tout groupe d'ordre pModèle:Exp possède même, pour tout r ≤ n, un sous-groupe normal d'ordre pModèle:Exp : Modèle:Ouvrage, Proposition C-1.25.
↑ Modèle:Article.
↑ Modèle:Article.
↑ Cette propriété est un exercice standard dans les manuels d'algèbre, par exemple Modèle:Harvsp ou Modèle:Note autre projet

Modèle:En Yakov Berkovich et Zvonimir Janko, Groups of Prime Power Order, vol. 1 Modèle:ISBN et 2 Modèle:ISBN, De Gruyter, 2008