Groupe de Prüfer

Représentation du groupe de Prüfer pour $p=2$ sur un cercle unité du plan complexe.

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on appelle p-groupe de Prüfer, ou encore groupe p-quasi-cyclique, pour un nombre premier p donné, tout groupe isomorphe au groupe multiplicatif

${𝐂}_{p^{\mathrm{\infty }}}=\{\exp (2\pi in/p^m)\mid n\in 𝐙,m\in 𝐍\}$

formé par les racines complexes de l'unité dont les ordres sont des puissances de p.

C'est donc un p-groupe abélien dénombrable.

Les p-groupes de Prüfer étant isomorphes entre eux, on parle volontiers « du » p-groupe de Prüfer, sans en préciser un en particulier. Nous dirons qu'un groupe G est un groupe de Prüfer s'il existe un nombre premier p tel que G soit un p-groupe de Prüfer.

Les p-groupes de Prüfer sont ainsi nommés en l'honneur du mathématicien Heinz Prüfer.

Définitions équivalentes

Soient p un nombre premier et G un groupe. Chacune des cinq propriétés suivantes équivaut à ce que G soit un p-groupe de Prüfer (et chacune de ces propriétés peut donc servir de définition aux p-groupes de Prüfer) :

a) G est isomorphe au quotient $𝐙[1/p]/𝐙,$ où $𝐙[1/p]$ désigne le sous-groupe de (Q, +) formé par les nombres de la forme $n/p^m$, avec $n\in 𝐙,m\in 𝐍$.

Justification. L'homomorphisme $𝐙[1/p]\to {𝐂}_{p^{\mathrm{\infty }}}:q\mapsto \exp (2\pi iq)$ est surjectif et admet $𝐙$ pour noyau.

b) G est isomorphe à un quotient F/R, où F est un groupe abélien libre (c'est-à-dire un Z-module libre) admettant une base infinie dénombrable $\{a_0,a_1,\dots a_n,\dots \}$ et R le sous-groupe de F engendré par $\{p{a}_0,a_0-p{a}_1,a_1-p{a}_2,\dots a_n-p{a}_{n+1},\dots \}$.

c) G admet une présentation

$⟨x_1,x_2,\dots |x_1^p=1,x_2^p=x_1,x_3^p=x_2,\dots ⟩.$

Justification. Soient L un groupe libre (non abélien) admettant une base infinie dénombrable $\{c_0,c_1,\dots c_n,\dots \}$ et S le sous-groupe normal de L engendré par $\{c_0^p,c_0{c}_1^{-p},c_1{c}_2^{-p},\dots c_n{c}_{n+1}^{-p},\dots \}$. Pour tout nombre naturel i, soit $x_i$ l'image canonique de $c_i$ dans L/S. Il est clair que, sur deux $x_i$, il y en a toujours un qui est puissance de l'autre, donc les $x_i$ commutent entre eux. Puisqu'ils engendrent L/S, L/S est donc abélien, autrement dit S contient le groupe dérivé D(L) de L. Dès lors, d'après le troisième théorème d'isomorphisme, L/S est isomorphe à (L/D(L))/(S/D(L)). Or L/D(L) est un groupe abélien libre (comme groupe abélien) admettant comme base les images $\{d_0,d_1,\dots d_n,\dots \}$ dans L/D(L) des éléments $\{c_0,c_1,\dots c_n,\dots \}$, et S/D(L) est le sous-groupe de L/D(L) engendré par $\{d_0^p,d_0{d}_1^{-p},d_1{d}_2^{-p},\dots d_n{d}_{n+1}^{-p},\dots \}$. On conclut à l'aide du point b).

d) G admet une famille génératrice $(a_n{)}_{n\in 𝐙}$ telle que $a_0=1$, $a_0^p=1$ et $a_{n+1}^p=a_n$ pour tout $n\ge 0$.

e) G est réunion d'une suite ascendante infinie $C_0\le C_1\le \dots \le C_n\le \dots$ où, pour chaque indice n, C_n est un groupe cyclique d'ordre pⁿ.

Propriétés diverses

• Tout sous-groupe propre d'un groupe de Prüfer est cyclique et, en particulier, fini (par sous-groupe propre d'un groupe G, on entend ici un sous-groupe de G distinct de G, et par groupe cyclique, on entend ici groupe monogène fini). Pour tout nombre naturel n, le p-groupe de Prüfer admet un et un seul sous-groupe d'ordre pⁿ. L'ensemble des sous-groupes d'un groupe de Prüfer est bien ordonné par inclusion. Cet ensemble ordonné n'est pas noethérien.
• Le p-groupe de Prüfer est le seul p-groupe abélien infini dont tous les sous-groupes propres sont cycliques.
• Les groupes de Prüfer sont les seuls groupes abéliens infinis dont tous les sous-groupes propres sont finis.
• Un groupe abélien infini G est un groupe de Prüfer si et seulement s'il est isomorphe à G/H pour tout sous-groupe propre H de G.

Les groupes de Prüfer sont divisibles. Leur importance vient du théorème suivant : Modèle:Énoncé Par exemple, le groupe additif Q/Z est somme directe de ses sous-groupes de Sylow, qui ne sont autres que les groupes de Prüfer (pour chaque nombre premier).