Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)

Modèle:Homon En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, le théorème de représentation de Riesz, en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz, est un théorème qui représente les éléments du dual d'un espace de Hilbert comme produit scalaire par un vecteur de l'espace.

Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Fréchet-Riesz (à ne pas confondre avec le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov). Il s'apparente singulièrement au théorème de Lax-Milgram qui englobe l'énoncé ci-dessous. Pour tout vecteur Modèle:Formule d'un espace de Hilbert Modèle:Formule, la forme linéaire qui à Modèle:Formule associe Modèle:Math est continue sur Modèle:Formule (sa norme est égale à celle de Modèle:Formule, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz). Le théorème de Riesz énonce la réciproque : toute forme linéaire continue sur Modèle:Formule s'obtient de cette façon.

Énoncé

Soient :

• Modèle:Formule un espace de Hilbert (réel ou complexe) muni de son produit scalaire hermitien noté ⟨∙, ∙⟩ ;
• Modèle:Math une forme linéaire continue sur Modèle:Formule.

Alors il existe un unique Modèle:Formule dans Modèle:Formule tel que pour tout Modèle:Formule de Modèle:Formule on ait Modèle:Math.

Démonstration

On sait déjà — comme rappelé en introduction et démontré dans le § « Structure du dual » de l'article sur les espaces préhilbertiens — que l'application R-linéaire (semi-linéaire dans le cas complexe)

$H\to H^{\prime },y\mapsto ⟨y,\cdot ⟩$

est injective (et même isométrique). Cette injectivité se traduit par l'unicité de Modèle:Math pour tout Modèle:Math.

On peut remarquer que si Modèle:Math est de dimension finie, la surjectivité — c'est-à-dire l'existence de Modèle:Math pour tout Modèle:Math — s'en déduit, puisque l'espace dual Modèle:Formule est alors de même dimension sur R que Modèle:Math.

Démontrons à présent l'existence de Modèle:Math, sans hypothèse de dimension.

Si Modèle:Math est la forme nulle, il suffit de choisir Modèle:Formule.

Supposons que Modèle:Math n'est pas identiquement nulle. Son noyau Modèle:Math est alors un hyperplan, or il est fermé ([[Espace vectoriel normé#Opérateur borné|par continuité de Modèle:Math]]). D'après le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert, l'orthogonal de cet hyperplan est donc une droite vectorielle qui lui est supplémentaire. Soit Modèle:Formule un vecteur de cette droite tel que Modèle:Math. Pour Modèle:MathModèle:2, les deux formes linéaires Modèle:Math et Modèle:Math coïncident non seulement sur Modèle:Math mais aussi en Modèle:Math, donc partout.

Extension aux formes bilinéaires

Si Modèle:Formule est une forme bilinéaire continue sur un espace de Hilbert réel Modèle:Math (ou une forme sesquilinéaire complexe continue sur un Hilbert complexe), alors il existe une unique application Modèle:Formule de Modèle:Math dans Modèle:Math telle que, pour tout Modèle:Math, on ait Modèle:Math. De plus, Modèle:Formule est linéaire et continue, de norme égale à celle de Modèle:Math.

$\mathrm{\exists }!A\in ℒ(H),\mathrm{\forall }(u,v)\in H\times H,a(u,v)=⟨Au,v⟩.$

Cela résulte immédiatement de l'isomorphisme canonique (isométrique) entre l'espace normé des formes bilinéaires continues sur Modèle:Math et celui des applications linéaires continues de Modèle:Math dans son dual, et de l'isomorphisme ci-dessus entre ce dual et Modèle:Math lui-même.