Théorème de Lax-Milgram

Le théorème de Lax-Milgram – des noms de Peter Lax et Arthur Milgram, auxquels on adjoint parfois celui de Jacques-Louis Lions – est un théorème de mathématiques s'appliquant à certains problèmes aux dérivées partielles exprimés sous une formulation faible (appelée également formulation variationnelle). Il est notamment l'un des fondements de la méthode des éléments finis.

Énoncé

Soient :

• $\mathscr{H}$ un espace de Hilbert réel ou complexe muni de son produit scalaire noté $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, de norme associée notée $\Vert \cdot \Vert$ ;
• $a(\cdot ,\cdot )$ une forme bilinéaire (ou une forme sesquilinéaire si $\mathscr{H}$ est complexe) qui est :
  • continue sur $\mathscr{H}\times \mathscr{H}$ : $\mathrm{\exists }c>0\mathrm{\forall }(u,v)\in {\mathscr{H}}^2|a(u,v)|\le c\Vert u\Vert \Vert v\Vert$,
  • coercive sur $\mathscr{H}$ (certains auteurs disent plutôt $\mathscr{H}$-elliptique) : $\mathrm{\exists }\alpha >0\mathrm{\forall }u\in \mathscr{H}a(u,u)\ge \alpha \Vert u{\Vert }^2$ ;
• $L(.)$ une forme linéaire continue sur $\mathscr{H}$.

Sous ces hypothèses, il existe un unique $u$ de $\mathscr{H}$ tel que l'équation $a(u,v)=L(v)$ soit vérifiée pour tout Modèle:Mvar de $\mathscr{H}$ :

$(1)\mathrm{\exists }!u\in \mathscr{H}\mathrm{\forall }v\in \mathscr{H}a(u,v)=L(v)$.

Si de plus la forme bilinéaire $a$ est symétrique, alors $u$ est l'unique élément de $\mathscr{H}$ qui minimise la fonctionnelle $J:\mathscr{H}\to ℝ$ définie par $J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-L(v)$ pour tout $v$ de $\mathscr{H}$, c'est-à-dire :

$(2)\mathrm{\exists }!u\in \mathscr{H}J(u)=\underset{v\in \mathscr{H}}{\min }J(v)$.

Démonstration

Cas général

Par application du théorème de Riesz sur les formes linéaires continues, il existe un vecteur $f\in \mathscr{H}$ tel que

$\mathrm{\forall }v\in \mathscr{H}L(v)=⟨f,v⟩$.

Par application de ce même théorème aux formes bilinéaires continues, il existe un endomorphisme linéaire continu $A\in ℒ(\mathscr{H})$ tel que

$\mathrm{\forall }u,v\in \mathscr{H}a(u,v)=⟨Au,v⟩$.

La proposition Modèle:Math se réécrit alors :

$\mathrm{\exists }!u\in \mathscr{H}Au=f$.

Pour prouver cette proposition, il suffit donc de montrer que Modèle:Mvar est une bijection de $\mathscr{H}$ sur $\mathscr{H}$. On montre dans un premier temps que l'opérateur est injectif, puis qu'il est surjectif.

Par la coercivité de $a$ et en appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout $v\in \mathscr{H}$

$\alpha \Vert v{\Vert }^2\le a(v,v)=⟨Av,v⟩\le \Vert Av\Vert \Vert v\Vert$

d'où $\Vert Av\Vert \ge \alpha \Vert v\Vert$ pour tout $v$ de $\mathscr{H}$, ce qui montre que [[Valeur spectrale|Modèle:Mvar est injectif et d'image fermée]]. Notons $𝒵$ cette image. Par le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé on sait que $\mathscr{H}=𝒵\oplus {𝒵}^{\perp }$.

Soit ensuite un élément Modèle:Mvar de ${𝒵}^{\perp }$, on a par définition $⟨Aw,w⟩=0$ et donc :

$\alpha \Vert w{\Vert }^2\le a(w,w)=⟨Aw,w⟩=0$

d'où $w=0$. Ainsi, ${𝒵}^{\perp }$ est réduit à $\{0\}$, ce qui montre que Modèle:Mvar est surjectif.

L'endomorphisme Modèle:Mvar est bijectif ; il existe donc un unique Modèle:Mvar de $\mathscr{H}$ tel que $Au=f$ et il est donné par $u=A^{-1}f$.

Remarque

Sans calculer Modèle:Mvar, on a l'inégalité

$\Vert u\Vert \le \frac{\Vert L{\Vert }^{\prime }}{\alpha }$

où $\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$ désigne la norme de l'espace dual ${\mathscr{H}}^{\prime }$.

Cas symétrique

Si la forme bilinéaire Modèle:Mvar est symétrique, on a pour tout Modèle:Mvar de $\mathscr{H}$ :

$J(u+w)=J(u)+(a(u,w)-L(w))+\frac{1}{2}a(w,w)$.

Comme Modèle:Mvar est l'unique solution de la proposition Modèle:Math, cela donne

$J(u+w)=J(u)+\frac{1}{2}a(w,w)$.

Et comme Modèle:Mvar est coercive, on a :

$J(u+w)\ge J(u)+\frac{\alpha }{2}\Vert w{\Vert }^2$.

On a donc $J(u)\le J(v)$ pour tout $v\in \mathscr{H}$, d'où le résultat Modèle:Math.

Applications

• Ce théorème est à la base des méthodes aux éléments finis ; on peut en effet montrer que si, au lieu de chercher Modèle:Mvar dans $\mathscr{H}$, on cherche $u_n$ dans ${\mathscr{H}}_n$, un sous-espace de $\mathscr{H}$ de dimension finie Modèle:Mvar, alors :
  • dans le cas où Modèle:Mvar est symétrique, $u_n$ est le projeté de Modèle:Mvar au sens du produit scalaire défini par Modèle:Mvar ;
  • si l'on se donne $({\phi }_i)$ une base de ${\mathscr{H}}_n$, le problème se ramène alors à la résolution d'un système linéaire :

    $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}\underset{\_}{u_n}=\underset{\_}{b}$ avec $A_{ij}=a({\phi }_j,{\phi }_i)$ et $b_i=L{\phi }_i$.

• On peut obtenir une estimation d'erreur à l'aide du lemme de Céa.

Articles connexes

• Modèle:Lien
• Théorème de Browder-Minty