Ensemble parfait

Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à son ensemble dérivé, c'est-à-dire à l'ensemble de ses « points limites », ou « points d'accumulation ».

Exemples

L'ensemble vide est parfait dans tout espace.

Dans ℝ, un segment [a, b] est un exemple simple d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$. Plus généralement, l'espace produit Modèle:Math est parfait lorsque Modèle:Math est un ensemble infini. Un exemple d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est l'ensemble $\{\sum _{n\in E}{a}_n|E\subset \mathbb{N}\}$ où $\sum a_n$ est une série absolument convergente de complexes telle que pour tout Modèle:Math, $\sum _{n>N}|a_n|<|a_N|$.

On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si $P^0$ est une partie fermée de ℝModèle:Exp, on définit le dérivé $P^{\prime }=P^1$ de $P^0$ comme l'ensemble des points d'accumulation de $P^0$. Pour tout ordinal $\alpha$, on pose $P^{\alpha +1}=(P^{\alpha }{)}^{\prime }$ et, si $\alpha$ est un ordinal limite, $P^{\alpha }={\cap }_{\beta <\alpha }{P}^{\beta }$. Si ${\omega }_1$ désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que :

• Ou bien $P^{{\omega }_1}=\varnothing$. On dit que $P^0$ est réductible ;
• Ou bien $P^{{\omega }_1}\ne \varnothing$ et c'est un ensemble parfait. $P^0$ est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

Propriétés

Un ensemble parfait non vide de ℝ ou ℝModèle:Exp n'est pas dénombrable. Plus généralement et plus précisément :

• tout espace complètement métrisable parfait non vide contient un sous-espace homéomorphe à l'espace de CantorModèle:, ;
• tout espace localement compact parfait non vide contient un sous-ensemble équipotent à l'espace de Cantor.

Dans les deux cas, l'espace considéré a donc au moins la puissance du continu.

Toute partie fermée de ℝ (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson.

Articles connexes

• Propriété d'ensemble parfait