Théorème de Minkowski
En mathématiques, le théorème de Minkowski concerne les réseaux de l'espace euclidien ℝModèle:Exp. Étant donné un tel réseau Λ, il garantit l'existence, dans tout convexe symétrique de volume suffisant, d'un vecteur non nul de Λ. Hermann Minkowski a découvert ce théorème en 1891[1] et l'a publié en 1896, dans son livre fondateur de la géométrie des nombres[2]. Ce résultat est en particulier utilisé en théorie algébrique des nombres.
Énoncés
Ce résultat concernant le réseau ℤModèle:Exp est équivalent (par simple changement de variables) à son homologue pour un réseau quelconque Λ : Modèle:Théorème
Équivalence entre les deux énoncés
Un réseau de ℝModèle:Exp est une partie de la forme où est une base de ℝModèle:Exp. Le réseau est donc composé des points dont les coordonnées dans la base B sont entières. On obtient un maillage régulier de l'espace, à l'image de la figure de droite. Les points du réseau sont représentés par les petites billes.
Un domaine fondamental de Λ, dépendant de la base B, est constitué des points de ℝModèle:Exp dont les coordonnées dans la base B sont dans l'intervalle [0, 1[. Il est illustré sur la figure de droite en rouge. Un domaine fondamental est toujours un parallélépipède.
Le covolume de Λ est le volume d'un domaine fondamental. Il est donc égal à la valeur absolue du déterminant de B dans la base canonique (cette définition ne dépend pas du choix de B, car un changement de base du réseau est nécessairement de déterminant ±1).
Le domaine fondamental du réseau ℤModèle:Exp associé à la base canonique est [0, 1[[[:Modèle:Exp]] donc le covolume de ℤModèle:Exp est 1. Le premier énoncé est ainsi un cas particulier du second. Mais inversement, par changement de variables, le second se déduit du premier, auquel nous nous consacrerons donc désormais.
Remarques
- La valeur 2Modèle:Exp est bien la plus petite possible. En effet, le convexe ]–1, 1[[[:Modèle:Exp]], de volume 2Modèle:Exp, ne contient que l'origine comme point à coordonnées entières. Cette situation est illustrée sur la figure de droite, le point bleu représentant l'origine.
- Un convexe de volume fini non nul étant borné[3], un convexe fermé de volume 2Modèle:Exp est compact. Il revient donc au même, dans le cas où le volume de C est égal à 2Modèle:Exp, de supposer simplement que C est fermé.
- Tout convexe O-symétrique de volume > 2Modèle:Exp contient un convexe O-symétrique compact de volume 2Modèle:Exp. Le premier point du théorème est donc un cas particulier du second. Réciproquement, le second peut se déduire du premier, par la même méthode que dans la démonstration du théorème de Blichfeldt.
- Un convexe compact de ℝModèle:Exp est O-symétrique et de volume non nul si et seulement si sa jauge est une norme. Il est alors égal à la boule unité fermée pour cette norme[4]Modèle:,[5].
Démonstration
Il existe plusieurs démonstrations du théorème[6]Modèle:,[7]Modèle:,[8]. Celle présentée ici dissocie l'hypothèse sur le volume de C — qui permettra d'appliquer le théorème de Blichfeldt — de celle sur ses deux autres propriétés (convexité et symétrie), utilisée dans le lemme suivant.
Supposons que Modèle:Nobr où x et –y sont deux points de CModèle:Ind (c'est ce qui est illustré sur la figure de droite). Alors, 2x et Modèle:Nobr appartiennent à C donc (comme C est O-symétrique) 2x et 2y aussi et (par convexité de C) leur milieu x + y = β aussi (et –β aussi), ce qui achève la preuve du lemme.
D'après le théorème de Blichfeldt, puisque CModèle:Ind est de volume strictement supérieur à 1, ou compact et de volume 1, il contient deux points distincts dont la différence β est à coordonnées entières. Autrement dit : il existe un vecteur non nul β de ℤModèle:Exp tel que CModèle:Ind rencontre le translaté β + CModèle:Ind. D'après le lemme, C contient alors β, ce qui termine la démonstration du théorème[9]. Modèle:Clr
Interprétation géométrique
Il existe une manière d'interpréter cette démonstration en termes de groupe topologique. L'espace ℝModèle:Exp peut être vu comme un groupe topologique dont ℤModèle:Exp est un sous-groupe discret. Quotienter ℝModèle:Exp par ℤModèle:Exp revient à identifier chaque élément de ℝModèle:Exp avec un élément de [0, 1[[[:Modèle:Exp]]. En dimension 2, cela revient à coller les points de [0, 1]Modèle:2 (la maille du réseau) dont la première coordonnée est égale à 1 avec ceux dont la première coordonnée est égale à 0, et agir de même avec la deuxième coordonnée. On obtient un tore de dimension d, illustré pour d = 2 par la figure de gauche. Chaque point de ℝModèle:Exp possède un voisinage tel que l'application canonique de ℝModèle:Exp dans le tore se restreigne en un difféomorphisme entre ce voisinage et son image. Ces difféomorphismes permettent de définir une mesure sur le tore, telle que toute partie mesurable du domaine fondamental soit mesurable sur le tore et de même mesure. La mesure du tore est donc 1.
Cette mesure est l'outil de la démonstration directe. On suppose que le convexe C, illustré en vert dans l'exemple de droite, est de mesure strictement supérieure à 2Modèle:Exp. Son homothétique CModèle:Ind, illustré en jaune, est de mesure strictement supérieure à 1. La restriction à CModèle:Ind de l'application canonique de ℝModèle:Exp dans le tore ne peut être injective car la mesure de l'image serait supérieure à celle du tore tout entier. Il existe donc deux éléments de CModèle:Ind, X et Y (les points x et –y du lemme), ayant même image par cette application.
-
Le dessin montre comment différents morceaux de CModèle:Ind (disque jaune) sont « recollés » dans le tore. -
La partie du convexe CModèle:Ind qui est envoyée injectivement dans le tore apparaît en jaune
Lors du recollement expliqué plus haut, des morceaux de CModèle:Ind se trouvent superposés, les points ainsi superposés ont la même image. En revenant à la figure originelle, à l'inverse, la zone d'injectivité correspond à ce qui apparaît encore en jaune dans la figure de droite. Le point Modèle:Nobr de C est à coordonnées entières non toutes nulles car X et Y sont deux représentants différents d'une même classe.
Applications
Ce théorème est utilisé pour démontrer deux résultats importants en théorie algébrique des nombres : le théorème des unités de Dirichlet et la finitude du groupe des classes d'idéaux d'un corps de nombres (par exemple un corps quadratique). Dans le second, le réseau considéré est le groupe additif de l'anneau des entiers algébriques du corps[10].
Une autre application est une démonstration du théorème des quatre carrés de Lagrange.
Réciproque partielle
On peut montrer avec des hypothèses supplémentaires une réciproque partielle au théorème de Minkowski[11]: Modèle:Théorème
Généralisations
Soient à nouveau, dans ℝModèle:Exp, un réseau Λ de covolume V et un convexe C égal à la boule unité fermée pour une certaine norme Modèle:Supra. Notons λModèle:Ind ≤ … ≤ λModèle:Ind les minima successifs de Λ relativement à C. En particulier, λModèle:Ind est la plus petite norme d'un vecteur non nul de Λ, donc le théorème de Minkowski équivaut (par homogénéité)[12] à : λModèle:IndModèle:Exp vol(C) ≤ 2Modèle:ExpV.
- Cette majoration est renforcée par celle du second théorème de Minkowski :Modèle:Retrait
- Cassels et Lagarias attribuent à van der Corput[13] une autre généralisation du (premier) théorème de Minkowski :Modèle:Retrait
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- Phong Q. Nguyen, La géométrie des nombres : de Gauss aux codes secrets, École normale supérieure, université Denis Diderot
- Modèle:Planetmath
Bibliographie
- ↑ Modèle:Chapitre ; reproduit dans Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:De Hermann Minkowski, Geometrie der Zahlen, Teubner, Leipzig, 1896, § 30.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Chapitre.
- ↑ Modèle:Harvsp, § IV.1-IV.3.1, Modèle:P..
- ↑ Modèle:Chapitre.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Pour un compte-rendu de la démonstration originale de Minkowski, voir Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Pour des exemples, voir le § « Groupe des classes » de l'article sur les idéaux de l'anneau des entiers d'un corps quadratique.
- ↑ Modèle:HardyWrightFr, chapitre 24 (« Géométrie des nombres »), section 24.10.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Article Modèle:Harv ou Modèle:Article Modèle:Harv.