Théorème de Blichfeldt

En mathématiques, le théorème de Blichfeldt est le théorème suivant, démontré en 1914 par Modèle:LienModèle:, :

Modèle:Énoncé Ou, ce qui est équivalent : Modèle:Énoncé

Une grande partie de la géométrie des nombres en résulte, à commencer par le théorème de Minkowski, que le cas $k=1$ suffit à redémontrer très rapidement.

Démonstrations

Considérons d'abord une « région » $M$ de ℝModèle:Exp (à prendre ici au sens : partie Lebesgue-mesurable), de « volume » (au sens de la mesure de Lebesgue) ${\lambda }_n(M)>k$.

Les deux premières des trois démonstrations ci-dessous s'appuient sur le lemme suivant (qui, pour $k=1$, est immédiat) :

La preuve en est simple : en notant ${\mathrm{𝟙}}_N$ l'indicatrice de toute partie $N$ de $X$, on a $\underset{{\cup }_{\beta }{N}_{\beta }}{\int }\sum _{\alpha }{\mathrm{𝟙}}_{N_{\alpha }}\mathrm{d}\mu >\underset{{\cup }_{\beta }{N}_{\beta }}{\int }k\mathrm{d}\mu$ donc la fonction $\sum _{\alpha }{\mathrm{𝟙}}_{N_{\alpha }}$ est strictement supérieure à $k$ en au moins un point.

• Les translatés du domaine fondamental $D:={[0,1[}^n$ par les vecteurs à coordonnées entières forment une partition de ℝModèle:Exp, donc leurs intersections avec $M$ forment une partition de $M$. Or la mesure de Lebesgue est invariante par translation. Par conséquent :Modèle:RetraitD'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point $z\in D$ et $k+1$ vecteurs distincts ${\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_k\in {\mathbb{Z}}^n$ tels que $z\in M-{\alpha }_i$. Les $k+1$ points $m_i:=z+{\alpha }_i\in M$ sont alors distincts, et leurs différences $m_i-m_j={\alpha }_i-{\alpha }_j$ sont bien à coordonnées entières, ce qui termine la première démonstration.

Le principe de la deuxième démonstration consiste à placer des translatés de M en chaque point entier d'un pavé, et à comparer le volume de leur réunion et la somme de leurs volumes.

• Supposons, sans perte de généralité, que $M$ est borné. On considère un entier m > 0, et à chaque vecteur α à coordonnées entières comprises entre 0 et m, on associe le translaté M + α. Pour δ tel que M soit inclus dans [–δ, δ]Modèle:Exp, tous ces translatés sont inclus dans le pavé [–δ, m + δ]Modèle:Exp, comme illustré sur la figure. Pour m assez grand, on a (m + 1)Modèle:ExpλModèle:Ind(M) > k(m + 2δ)Modèle:Exp, c'est-à-dire :Modèle:RetraitOn conclut, comme dans la première démonstration, grâce au principe des tiroirs.
• Cette troisième démonstration ne s'applique que si $M$ est cubable. Pour tout entier $r>0$, notons $N_r$ le nombre de points de $\frac{1}{r}{\mathbb{Z}}^n$ appartenant à $M$. Ce nombre est équivalent à $r^n{\lambda }_n(M)$ quand $r\to \mathrm{\infty }$, donc est strictement supérieur à $r^{n}k$ pour $r$ suffisamment grand. Or modulo ${\mathbb{Z}}^n$, les éléments de $\frac{1}{r}{\mathbb{Z}}^n$ ne forment que $r^n$ classes. L'une d'entre elles contient donc au moins $k+1$ des $N_r$ points considérés, c'est-à-dire qu'il existe $z\in \frac{1}{r}{\mathbb{Z}}^n$ tel que $z+{\mathbb{Z}}^n$ contienne $k+1$ points distincts $m_0=z+{\alpha }_0,\dots ,m_k=z+{\alpha }_k$ de $M$. Les différences $m_i-m_j={\alpha }_i-{\alpha }_j$ sont bien à coordonnées entières, ce qui termine cette troisième démonstration.

Considérons maintenant un compact $M$ de volume $k$. D'après ce qui précède, pour tout entier $t>0$, il existe un $(k+1)$-uplet $m_t=(1+\frac{1}{t})p_t\in (1+\frac{1}{t})M^{k+1}$ tel que pour $i\ne j$, $m_{t,i}-m_{t,j}\in {\mathbb{Z}}^n\setminus \{0\}$. La suite $(p_t{)}_{t\in {\mathbb{N}}^{*}}$ (à valeurs dans le compact produit $M^{k+1}$) possède une valeur d'adhérence $p\in M^{k+1}$, qui est alors aussi valeur d'adhérence de $(m_t{)}_{t\in {\mathbb{N}}^{*}}$. Pour $i\ne j$, $p_i-p_j$ appartient donc au fermé ${\mathbb{Z}}^n\setminus \{0\}$.