Forme symplectique

Une forme symplectique est un objet mathématique à la base de la géométrie symplectique et intervenant - avec des caractéristiques différentes - dans les espaces vectoriels ; dans les fibrés vectoriels ; sur les variétés différentielles.

Espace vectoriel symplectique

Modèle:Article détaillé En algèbre linéaire, une forme symplectique sur un espace vectoriel $V$ est une forme bilinéaire non dégénérée alternée $\omega :V\times V\to ℝ$. Un espace vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé espace vectoriel symplectique.

Exemples :

• $({ℝ}^{2n},\omega )$ où $\omega =\sum _{k=1}^n{e}_k^{*}\wedge f_k^{*}$, pour $(e_k^{*},f_k^{*}{)}_{k=1,...,n}$ la base duale canonique de ${ℝ}^{2n}$, est un espace vectoriel symplectique.
• Si $W$ est un espace vectoriel réel et $V:=W\oplus W^{*}$ alors $(V,\omega )$ est un espace vectoriel symplectique pour $\omega ((w_1\oplus {\alpha }_1),(w_2\oplus {\alpha }_2)):={\alpha }_1(w_2)-{\alpha }_2(w_1)$ où $w_1,w_2\in W$ et ${\alpha }_2,{\alpha }_2\in W^{*}$

Fibré symplectique

Modèle:Article détaillé En géométrie différentielle, une forme symplectique sur un fibré vectoriel réel $E\to M$ est une section globale lisse $\omega$ du fibré $E^{*}\wedge E^{*}\to M$ qui est non dégénérée fibre par fibre. Un fibré vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé fibré vectoriel symplectique.

Remarques :

• Une forme symplectique de fibré symplectique est une famille lisse $\{{\omega }_x{\}}_{x\in M}$ de formes symplectiques d'espaces vectoriels dont les espaces vectoriels en question sont les fibres $E_x$ du fibré $E\to M$.

Exemples :

• Si $F\to M$ est un fibré vectoriel réel et $E:=F\oplus F^{*}$ alors $(E,\omega )$, où

${\omega }_x((w_1\oplus {\alpha }_1),(w_2\oplus {\alpha }_2)):={\alpha }_1(w_2)-{\alpha }_2(w_1),\mathrm{\forall }x\in M,\mathrm{\forall }{w}_1,w_2\in F_x,\mathrm{\forall }{\alpha }_2,{\alpha }_2\in F_x^{*}$,

est un fibré vectoriel symplectique sur $M$.

Ce dernier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.

Variété symplectique

Modèle:Article détaillé Toujours en géométrie différentielle, une forme symplectique sur une variété différentielle $M$ est une 2-forme différentielle $\omega$ qui est :

1. fermée (au sens de la différentielle extérieure), i.e. $\mathrm{d}\omega =0$ ;
2. non dégénérée (fibre par fibre), i.e. pour tout $v\in TM$ non nul, $\omega (v,\cdot )$ est non nul.

Une variété différentielle munie d'une forme symplectique est nommé variété symplectique.

Remarques :

• La forme symplectique $\omega$ d'une variété symplectique $(M,\omega )$ est aussi une forme symplectique de fibré vectoriel dont le fibré en question est le fibré tangent $TM$ de la variété différentielle $M$. Toutefois, ici, on ajoute la condition de fermeture $\mathrm{d}\omega =0$. Lorsque $\omega$ est une forme symplectique pour le fibré $TM$ mais qu'elle ne vérifie pas forcément la condition de fermeture $\mathrm{d}\omega =0$, la paire $(M,\omega )$ est dit être une variété presque-symplectique.
• La condition d'être fermée d'une forme symplectique $\omega$ d'une variété symplectique $(M,\omega )$ implique, par le théorème de Darboux, qu'autour de tout point $x$ de $M$ il existe un système de coordonnées locales $(p_k,q_k{)}_{k=1,...,\dim M}$ tel que $\omega$ s'y écrive de manière canonique $\sum _{k=1}^{\dim M}\mathrm{d}{p}_k\wedge \mathrm{d}{q}_k$.
• L'existence des formes symplectiques sur les variétés différentielles est une question ouverte.

Exemples :

• Si $(M,\omega )$ est une variété symplectique de dimension $2n$, et que $P$ est une sous-variété différentielle de $M$, alors :
  • Le fibré tangent de $M$ se restreint en un fibré de rang $2n$ sur $P$, noté $T_{P}M\to P$. Et $(T_{P}M,\omega {|}_{T_{P}M})$ est un fibré symplectique sur $P$.
  • Si en tout point $x$ de $P$, la forme bilineaire ${\omega }_x$ est non dégénérée en restriction à l'espace tangent $T_{x}P$, alors $(P,\omega {|}_{T_{P}P})$ est une variété symplectique.

Voir aussi

• Forme de Liouville

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.