Forme bilinéaire non dégénérée

En mathématiques, une forme bilinéaire non dégénérée est une forme bilinéaire telle que le seul vecteur orthogonal, à gauche ou à droite, de tous les vecteurs selon cette forme est le vecteur nul {0}.

Par exemple, un produit scalaire est un cas particulier de forme bilinéaire non dégénérée.

Définitions

Soient K un corps, E un K-espace vectoriel à gauche, F un K-espace vectoriel à droite et f une forme bilinéaire sur E×F.

• On dit que f est dégénérée à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément non nul $y_0$ de F (resp. $x_0$ de E) tel que $f(x,y_0)=0$ pour tout $x\in E$ (resp. $f(x_0,y)=0$ pour tout $y\in F$).
• On appelle espace singulier à droite le sous-espace suivant de F :$S_d(f)=\{y\in F,\mathrm{\forall }x\in E,f(x,y)=0\}$
• On définit de même l'espace singulier à gauche $S_g(f)\subset E.$
• On dit que f est non dégénérée si elle est non dégénérée à droite et à gauche.

Propriétés

• Pour un vecteur Modèle:Mvar de E, notons $f(x,\cdot )$ la fonction partielle de Modèle:Mvar qui à $y\in F$ associe $f(x,y)$. C'est une forme linéaire sur F, donc un élément du dual algébrique F* (qui est, comme E, un K-espace vectoriel à gauche). De plus, l'application $\hat{f}$ de E dans F* qui à $x$ associe $f(x,\cdot )$ est linéaire. Par construction,$S_g(f)=\ker \hat{f}.$
• Si E et F sont de dimension finie, $S_g(f)=\{\overrightarrow{0}\}$ si et seulement si $S_d(f)=\{\overrightarrow{0}\}$, et cela équivaut à dire que f est non dégénérée.
• Lorsque E est un espace vectoriel réel, toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur E×E est définie (c'est donc un produit scalaire). C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes bilinéaires positives.

Références

• J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie, Dunod, 1990
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