Théorème de Darboux (géométrie)

Portrait de Gaston Darboux, mathématicien ayant démontré ce théorème.

Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension $2n$ sont deux à deux localement symplectomorphes.

Énoncé et démonstration

Plus explicitement : Modèle:Théorème Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe $C^2$, la courbure. Modèle:Démonstration

Aspect semi-local

Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :

Il répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que… ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question : Modèle:Énoncé Cependant, quel sens donner au mot « taille » ? Soit $r,R>0$ ; l'existence d'un plongement symplectique d'une boule (fermée) $B^{2n}(r)$ dans un cylindre $B^2(R)$×ℝ^$2n-2$ implique $r\le R$. La capacité symplectique d'une variété symplectique $(M,\omega )$ est donnée par : Modèle:Bloc emphase

Voir aussi

• Variété symplectique
• Géométrie symplectique
• Capacité symplectique
• Géométrie de contact