Théorème de récurrence de Poincaré

Modèle:Homon Le théorème de récurrence de Poincaré dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

Contexte

Système dynamique

Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet $(X,\mu ,\varphi )$ où :

• $X$ est un espace mesurable, qui représente l'espace des phases du système.
• $\mu$ est une mesure finie sur $X$,
• $\varphi :X\to X$ est une fonction mesurable préservant la mesure $\mu$, c’est-à-dire telle que :

$\mathrm{\forall }A\subset X,(\mu \circ {\varphi }^{-1})(A)=\mu [{\varphi }^{-1}(A)]=\mu (A)$.

Récurrence d'un point

Soit $A\subset X$ un sous-ensemble mesurable. Un point $x\in X$ est dit récurrent par rapport à $A$ si

${\varphi }^k(x)\in A$ pour une infinité d'entiers $k$.

Autrement dit : $x$ est récurrent par rapport à $A$ si pour tout entier naturel $p$, il existe un entier $k\ge p$ tel que ${\varphi }^k(x)\in A$, c'est-à-dire si $x\in {\cap }_{p\in \mathbb{N}}{\cup }_{k\ge p}{\varphi }^{-k}(A)$.

Théorème de récurrence de Poincaré

Soit $A\subset X$ un sous-ensemble mesurable pour la mesure $\mu$. Alors, presque tous les points de $A$ sont récurrents par rapport à $A$Modèle:,.

Histoire

Modèle:... Le théorème a été publié par Poincaré en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbre.