Argument d'un nombre complexe

Cette figure montre qu'un argument n'est pas unique. Ajouter $2\pi$ à un argument (i.e. faire un tour de plus) donne toujours un argument.

En mathématiques, plus précisément en analyse complexe, un argument d’un nombre complexe Modèle:Mvar est une mesure de l'angle entre la demi-droite des nombres réels positifs (l'axe des abscisses) et celle issue de l'origine et passant par le point représenté par Modèle:Mvar (voir la figure ci-contre). La notion d'argument n'a pas de sens pour zéro. On mesure un argument en radians. Il n'y a pas de valeur unique pour un argument puisque les angles sont les mêmes modulo Modèle:Math. Si l'on souhaite une valeur unique, on peut utiliser la notion d'argument principal, qui est l'unique valeur dans $]-\pi ,\pi ]$.

Définition

Dans le plan complexe, si Modèle:Mvar est l'affixe du point Modèle:Mvar, alors un argument de Modèle:Mvar correspond à une mesure de l'angle $(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})$.

Étant donné un nombre complexe Modèle:Mvar non nul, un argument de Modèle:Mvar est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :

$(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})$

où Modèle:Mvar est l'image de Modèle:Mvar dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe Modèle:Mvar.

De manière équivalente, un argument de $z=x+iy$ est un nombre réel $\theta$ tel que :

$\cos \theta =\frac{\mathrm{\Re }(z)}{|z|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\text{et}\sin \theta =\frac{\mathrm{\Im }(z)}{|z|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$,

Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge.

où $\mathrm{\Re }(z)=x$, $\mathrm{\Im }(z)=y$ et $\left|z\right|$ sont respectivement les parties réelle et imaginaire et le module de Modèle:Mvar.

Souvent, on note un argument du nombre complexe Modèle:Mvar de façon simplifiée par :

$\arg z=\theta$

ou plus précisément :

$\arg z\equiv \theta mod2\pi$.

Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase ou de lModèle:'amplitude d'un nombre complexe : $\mathrm{p}\mathrm{h}(z)$.

Argument principal

Modèle:Article détaillé L'argument principal de Modèle:Mvar, noté $\text{Arg }z$, est la mesure principale de l'angle $(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM})$, soit celle qui appartient à l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$ ; on a donc : $\arg z\equiv \text{Arg }zmod2\pi$.

Formules de calcul

• Si Modèle:Mvar n'est pas un imaginaire pur, $\tan (\arg z)=\frac{y}{x}=\frac{z-\overline{z}}{\mathrm{i}(z+\overline{z})}$, où $\overline{z}$ est le conjugué de Modèle:Mvar et donc :

  si $x=\mathrm{\Re }(z)>0$, $\text{Arg }z=\text{Arctan}\frac{y}{x}=\text{Arctan}\frac{z-\overline{z}}{\mathrm{i}(z+\overline{z})}$.

• De manière plus générale, l'argument principal d'un nombre complexe Modèle:Mvar non nul est entièrement déterminé de la façon suivante :

  $\text{Arg }z=\{\begin{array}{cc}2\text{ Arctan}\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}& \text{si }z\notin {ℝ}_{-}\\ \pi & \text{si }z\in {ℝ}_{-}^{*}\text{.}\end{array}$

Cette expression se déduit d'une des formules de l'arc moitié, $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$.

Propriétés

Soient Modèle:Mvar, Modèle:MvarModèle:Ind et Modèle:MvarModèle:Ind des complexes non nuls. On a, $mod2\pi$ :

$\arg (z_1{z}_2)\equiv \arg z_1+\arg z_2$.

En particulier :

• pour tout réel Modèle:Mvar non nul : $\arg (az)\equiv \{\begin{array}{cc}\arg z& \text{si }a>0\\ (\arg z)+\pi & \text{si }a<0\text{ ;}\end{array}$
• pour tout entier relatif Modèle:Mvar : $\arg (z^n)\equiv n\arg z$.

Applications à la géométrie

Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a, b, c et d, alors :

$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})\equiv \arg \frac{d-c}{b-a}mod2\pi$.

Articles connexes

• Coordonnées polaires
• Module d'un nombre complexe
• Détermination principale