Point de branchement

En analyse complexe, le point de branchement ou point de ramification est un point singulier d'une fonction analytique complexe multiforme, telle que la fonction racine n-ième ou le logarithme complexe. En ce point s'échangent les différentes déterminations.

Géométriquement, cette notion délicate est liée à la surface de Riemann associée à la fonction et relève de la question de la monodromie.

Pour donner une image, cela correspond à un escalier en colimaçon dont l'axe (réduit à un point) est placé à la singularité, desservant plusieurs (voire une infinité) d'étages. Dans le cas d'un nombre fini d'étages, l'escalier a une propriété de périodicité : arrivé au dernier étage, on peut continuer à monter et on se retrouve au rez-de-chaussée.

En pratique, il suffit de tourner autour d'un point de branchement pour changer d'« étage ».

Les différents étages sont appelés des feuillets (ou branches). L'ordre du point est égal au nombre de feuillets (branches).

Définition

Étant donnés une fonction analytique Modèle:Mvar et un point singulier isolé Modèle:Mvar, le point Modèle:Mvar est un point de branchement lorsque l'image par Modèle:Mvar d'au moins un lacet entourant Modèle:Mvar est une courbe non fermée. Le point est dit d'ordre Modèle:Mvar s'il faut au plus Modèle:Mvar tours autour de Modèle:Mvar pour refermer la courbe image. Si la courbe ne se referme jamais quel que soit le nombre de tours effectués autour de Modèle:Mvar, on dit que le point de branchement est transcendant ou logarithmique.

Le point à l'infini peut être un point de branchement pour Modèle:Math. Pour le montrer, on considère la fonction Modèle:Math. Si 0 est un point de branchement de Modèle:Math alors l'infini est un point de branchement de Modèle:Math.

Développement en un point de branchement d'ordre Modèle:Mvar

Soit Modèle:Mvar une fonction complexe admettant le point Modèle:Mvar comme point de branchement d'ordre Modèle:Mvar. Si Modèle:Math, on se ramène par translation au cas où ce point de branchement est 0. La fonction Modèle:Mvar définie par Modèle:Math est alors analytique en 0. Pour cette fonction Modèle:Mvar, le point 0 n'est donc pas un point de branchement, ce qui implique qu’elle admet un développement en série de Laurent en 0. Puisque l'on a Modèle:Math, on en conclut que Modèle:Math admet un développement en 0 faisant apparaître des puissances non entières. Une telle série est appelée série de Puiseux.

Par exemple, le développement de la fonction $f(s)=\frac{1}{s\sqrt{s^2-1}}$ en Modèle:Math est égal à :

$f(s)=\frac{1}{2}\sqrt{2}{(s-1)}^{-1/2}-\frac{5}{8}\sqrt{2}{(s-1)}^{1/2}+\frac{43}{64}\sqrt{2}{(s-1)}^{3/2}-\frac{177}{256}\sqrt{2}{(s-1)}^{5/2}+\frac{2867}{4096}\sqrt{2}{(s-1)}^{7/2}-\frac{11531}{16384}\sqrt{2}{(s-1)}^{9/2}+O\left({(s-1)}^{11/2}\right).$

Coupures

Une fonction qui admet un point de branchement en Modèle:Mvar peut être rendue uniforme en la restreignant à un feuillet particulier de sa surface de Riemann. Pour cela on définit une ligne, appelée coupure, reliant le point Modèle:Mvar à un autre point de branchement de manière à empêcher que l'on puisse tourner autour de Modèle:Mvar seul. La fonction ainsi restreinte est alors uniforme, c'est une branche particulière. Lorsque l'on veut faire coïncider les valeurs réelles de la restriction de Modèle:Mvar à un feuillet avec une fonction classique de la variable réelle (ce qui est courant en physique et dans les sciences de la nature), on choisit une détermination particulière, appelée « branche principale ».

Exemples

• La fonction racine n-ième est une fonction multiforme admettant le point 0 comme point de branchement d'ordre Modèle:Mvar.
• La fonction logarithme néperien est également multiforme et admet 0 comme point de branchement d'ordre infini (on dit « point de branchement logarithmique » ou « singularité logarithmique » en ce cas).
• Soit $f(s)=\sqrt{s}\exp (s)$.
  • Pour montrer que 0 est un point de branchement, on calcule Modèle:Math. On considère un cercle de rayon Modèle:Mvar autour de 0. On trouve, posant Modèle:Math, que l'on a $f(s)=\sqrt{r}\exp (\mathrm{i}t/2)\exp (r(\cos t+\mathrm{i}\sin t)).$ On a donc Modèle:Math. Quand Modèle:Mvar augmente de Modèle:Math, on voit que l'argument n'augmente pas d'un multiple de Modèle:Math et que Modèle:Math ne retrouve pas sa valeur de départ : 0 est donc un point de branchement pour f (et l'on peut même dire qu'il s'agit d'un point de branchement d'ordre 2 puisque si Modèle:Mvar augmente de Modèle:Math, Modèle:Math reprend sa valeur initiale, l'argument de Modèle:Math ayant augmenté de Modèle:Math).
  • Pour le point à l'infini, on calcule de même Modèle:Math et, comme précédemment, on considère un cercle autour de 0 pour Modèle:Mvar. On a ainsi $f(1/s)=\frac{1}{\sqrt{r}}\exp (-\mathrm{i}t/2)\exp (\frac{1}{r}(\cos t-\mathrm{i}\sin t)).$ Donc Modèle:Math. Il en résulte que, Modèle:Mvar augmentant de Modèle:Math, $f(1/s)$ ne reprend pas sa valeur initiale : le point à l'infini pour Modèle:Math est donc un point de branchement (d'ordre 2).
• Soit $f(s)=(\ln (s){)}^2$.

  soit un cercle de rayon Modèle:Mvar parcouru dans le sens trigonométrique autour de 0 en partant d'un angle Modèle:Mvar. On a $f(r\exp (\mathrm{i}t))=(\ln r+\mathrm{i}t{)}^2={\ln }^{2}r-t^2+2\mathrm{i}t\ln (r)$. Quand Modèle:Mvar augmente de Modèle:Math, la partie réelle de Modèle:Mvar diminue de Modèle:Math, et la partie imaginaire augmente de Modèle:Math. Pour retrouver le point dont on est parti, il faut que la variation de la partie réelle soit égale à 0 ainsi que celle de la partie imaginaire. Pour la partie imaginaire, cela conduit à prendre Modèle:Math. Pour la partie réelle, il faut que Modèle:Math. Donc le seul cercle de centre 0 dont l'image par Modèle:Mvar soit un cercle est le cercle de rayon 1 parcouru dans le sens trigonométrique à partir de –1. Pour tout autre couple Modèle:Math, le cercle de rayon Modèle:Mvar centré en 0 ne se referme jamais, même de rayon 1 si on le parcourt en partant d'un autre point que –1 : le point 0 est donc bien un point de branchement.

• Si Modèle:Mvar est un point de branchement pour Modèle:Mvar, c'est aussi un point de branchement (a priori) pour $g\circ f$, lorsque Modèle:Mvar est une fonction entière.

Remarques

• Le rayon de convergence d'une fonction analytique complexe est limité par une ou plusieurs singularités sur son cercle de convergence. Les points de branchement en font partie.
  Par exemple, $f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n^2}$. Cette fonction reste bornée partout sur son cercle de convergence Modèle:Math. Elle ne peut donc pas y admettre un pôle (elle tendrait vers l'infini quelle que soit la manière dont Modèle:Mvar tendrait vers le pôle), ou un point singulier essentiel (pour tout nombre strictement supérieur à Modèle:Math, il existerait une suite de points où la somme tendrait vers ce nombre, les points restant de module inférieur à 1, ce qui est impossible). La seule solution est qu'elle y admet un point de branchement. Et effectivement, elle admet le point Modèle:Math comme point de branchement (logarithmique) et comme unique singularité.
• Un point peut être de branchement dans un feuillet sans l'être dans un autre.

Surfaces de Riemann

Le concept de point de branchement est utile dans le cadre de la théorie des surfaces de Riemann. En effet, lorsque l'on a une fonction holomorphe Modèle:Math entre deux surfaces de Riemann, si de plus Modèle:Mvar est compacte, alors Modèle:Mvar sera un revêtement sur son image moins un nombre fini de points. Ces points sont appelés points de branchement et leurs antécédent points de ramification

Voir aussi

• Fonction elliptique
• Théorème de Riemann-Roch