Coordonnées de Boyer-Lindquist

Les coordonnées de Boyer-LindquistModèle:Note sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour écrire la métrique du trou noir de KerrModèle:Sfn ou d'un trou noir de Kerr-NewmannModèle:Sfn. Elles généralisent les coordonnées de SchwarzschildModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn : elles sont singulières à l'horizon des événements du trou noirModèle:Sfn. Elles minimisent le nombre des composantes hors diagonale de la métriqueModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Elles sont adaptées aux symétries du trou noir : sa stationarité et sa symétrie axialeModèle:Sfn.

Présentation

La notation usuelle des coordonnées est Modèle:FormuleModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ou Modèle:FormuleModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn avecModèle:Sfn :

• $t\in ℝ$,
• $r\in ℝ$,
• $\theta \in (0,\pi )$,
• $\varphi \in (0,2\pi )$.

La métrique de Kerr admet deux champs de vecteurs de Killing, notés $\mathit{\xi }$ et $\mathit{\eta }$ et respectivement associés à la stationnarité et à la symétrie axialeModèle:Sfn. Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont construites de sorte que les composantes ${\xi }^{\mu }$ et ${\eta }^{\mu }$ de $\mathit{\xi }$ et $\mathit{\eta }$ soient ${\xi }^{\mu }=(1,0,0,0)$ et ${\eta }^{\mu }=(0,0,0,1)$Modèle:Sfn. Ainsi les produits scalaires des vecteurs de Killing sont donnés par les composantes de la métriqueModèle:Sfn :

$\mathit{\xi }\cdot \mathit{\xi }=g_{tt},\mathit{\xi }\cdot \mathit{\eta }=g_{t\varphi },\mathit{\eta }\cdot \mathit{\eta }=g_{\varphi \varphi }$.

Le changement de coordonnées des coordonnées de Boyer-Lindquist Modèle:Formule vers les coordonnées cartésiennes Modèle:Formule, est donné parModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

Modèle:Formule,

Modèle:Formule,

Modèle:Formule,

où Modèle:Formule est le rapport entre le moment angulaire et la masse : Modèle:Formule (voir trou noir de Kerr pour plus de détails).

Les coordonnées de Boyer-Linquist sont adaptées à un feuilletage [[Formalisme ADM|Modèle:Formule]] Modèle:Incise d'un espace-temps axisymétrique. Elles permettent d'exprimer la métrique sous la formeModèle:Sfn :

$\mathrm{d}{s}^2=({\beta }^2-{\alpha }^2)\mathrm{d}{t}^2+2{\beta }_{\varphi }\mathrm{d}\varphi \mathrm{d}t+{\gamma }_{rr}\mathrm{d}{r}^2+{\gamma }_{\theta \theta }\mathrm{d}{\theta }^2+{\gamma }_{\varphi \varphi }\mathrm{d}{\varphi }^2$.

La représentation matricielle des coefficients de la métrique est ainsiModèle:Sfn :

$g_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}{\beta }^2-{\alpha }^2& 0& 0& {\beta }_{\varphi }\\ 0& {\gamma }_{rr}& 0& 0\\ 0& 0& {\gamma }_{\theta \theta }& 0\\ {\beta }_{\varphi }& 0& 0& {\gamma }_{\varphi \varphi }\end{array}\right)$

$\alpha$ est la fonction Modèle:LangueModèle:Sfn. $\beta$ est le vecteur Modèle:LangueModèle:Sfn.

Dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist, on trouve un paramètre et des fonctions.

$a$ est le paramètre de KerrModèle:Sfn. Il est défini par $a=\frac{J}{Mc}$Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn où $M$ est la masse et $J$ est le moment cinétiqueModèle:Sfn ; et est homogène à une longueurModèle:Sfn.

Deux principales fonctions

${\rho }^2$ et $\mathrm{\Delta }$ sont deux fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Par construction de celles-ci, la métrique est singulière pour $\rho =0$ ou $\mathrm{\Delta }=0$Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

${\rho }^2$ est une fonction des deux coordonnées $r$ et $\theta$ : ${\mathrm{\rho }}^{\mathrm{2}}(r,\theta )$Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Elle est donnée par : ${\rho }^2=r^2+a^2{\cos }^2\theta$, tant pour la métrique de KerrModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn que pour celle de Kerr-NewmanModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Elle est définie de sorte que les composantes $g_{rr}$ et $g_{\theta \theta }$ s'annulent pour $\rho =0$Modèle:Sfn. C'est le cas pour $(r,\theta )=(0,\frac{\pi }{2})$Modèle:Sfn.

$\mathrm{\Delta }$ est une fonction de la coordonnée $r$ : $\mathrm{\Delta }(r)$Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Elle est définie de sorte que la composante $g_{rr}$ devienne singulière pour $\mathrm{\Delta }=0$Modèle:Sfn. C'est le cas pour $r=r_{+}$ et $r=r_{-}$Modèle:Sfn. Les surfaces de coordonnées $r_{\pm }$ sont deux horizons. La surface de coordonnée $r_{+}$ est l'horizon des événements du trou noirModèle:Sfn ; celle de coordonnée $r_{-}$ est son horizon de CauchyModèle:Sfn.

Troisième fonction

Une troisième fonction apparaît souvent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-Lindquist. Elle est notée ${\mathrm{\Sigma }}^2$Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Dans le cas de la métrique de Kerr, elle est définie parModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn : ${\mathrm{\Sigma }}^2={(r^2+a^2)}^2-a^2\mathrm{\Delta }{\sin }^2\theta$. Il en est de même dans le cas de la métrique de Kerr-NewmanModèle:Sfn.

Autres fonctions

${\alpha }^2$, ${\varpi }^2$ et $\omega$ sont trois autres fonctions qui apparaissent dans l'expression d'une métrique en coordonnées de Boyer-LindquistModèle:Sfn.

$\alpha$ est la fonction Modèle:Langue déjà rencontréeModèle:Sfn. $\varpi$ est le rayon cylindriqueModèle:Sfn : $2\pi \varpi =2\pi \sqrt{g_{\varphi \varphi }}$ est la circonférence d'un cercle autour de l'axe de symétrieModèle:Sfn. $\omega$ est la vitesse angulaire des ZAMOsModèle:Sfn : $\omega =-{\beta }^{\varphi }={\left(\frac{{\mathrm{d}}_{\varphi }}{{\mathrm{d}}_t}\right)}_{\mathrm{Z}\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{O}}$. Dans le cas de la métrique de KerrModèle:Sfn :

${\alpha }^2=\frac{{\rho }^2}{{\mathrm{\Sigma }}^2}\mathrm{\Delta }$Modèle:Sfn ;

${\beta }^2=\frac{{\beta }_{\varphi }^2}{{\gamma }_{\varphi \varphi }}$Modèle:Sfn ;

${\varpi }^2=\frac{{\mathrm{\Sigma }}^2}{{\rho }^2}{\sin }^2\theta$ ;

$\omega =\frac{2aMr}{{\mathrm{\Sigma }}^2}$.

Les composantes de la métrique sont reliées aux fonctionsModèle:Sfn. Dans le cas de la métrique de KerrModèle:Sfn :

$g_{tt}={\beta }^2-{\alpha }^2$Modèle:Sfn ;

$g_{rr}={\gamma }_{rr}=\frac{{\rho }^2}{\mathrm{\Delta }}$Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn ;

$g_{\theta \theta }={\gamma }_{\theta \theta }={\rho }^2$Modèle:Sfn ;

$g_{\varphi \varphi }={\gamma }_{\varphi \varphi }={\varpi }^2$Modèle:Sfn.

$g_{t\varphi }={\beta }_{\varphi }$Modèle:Sfn.

Histoire

Les éponymes des coordonnées de Boyer-LindquistModèle:Sfn sont [[Robert H. Boyer|Robert Modèle:Abréviation discrète Boyer]] (Modèle:Date--Modèle:Date-) et Richard W. LindquistModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article.
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• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Ouvrage.
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• Modèle:En Shapiro, S. L. and Teukolsky, S. A. Black Holes, White Dwarfs, and Neutron Stars: The Physics of Compact Objects. New York: Wiley, Modèle:P., 1983.
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• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Dictionnaires et encyclopédies

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Liens externes

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