Nombre multicomplexe (Fleury)

En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole $ℳ{ℂ}_n$ (Modèle:Formule) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension Modèle:Formule sur Modèle:Formule. Ils ont été introduits par Norbert Fleury en 1993.

Définition

Soit un élément Modèle:FormuleModèle:Note tel que Modèle:Formule et tel que Modèle:Formule soit une famille libre : Modèle:Formule est alors défini comme l’algèbre réelle générée par cette familleModèle:NoteModèle:,Modèle:NoteModèle:,Modèle:Note.

Propriétés algébriques

• Chaque algèbre Modèle:Formule est un cas particulier d’Modèle:LienModèle:Note.
• Comme Modèle:Formule, chaque algèbre Modèle:Formule est canoniquement isomorphe à l’Modèle:Lien Modèle:Formule.
• Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut s’écrire sous forme polaire : $x=\rho \exp ({\sum }_{i=1}^{n-1}{\varphi }_i{e}^i)$Modèle:Note.

Sommes directes et produits tensoriels

• Chaque algèbre Modèle:Formule est isomorphe à une somme directeModèle:Note impliquant Modèle:Formule et Modèle:FormuleModèle:Note :
  • si Modèle:Formule est pair :

    $ℳ{ℂ}_n\cong \underset{\frac{n}{2}\text{ facteurs}}{\underbrace{ℂ\oplus ℂ\oplus \cdots \oplus ℂ}}={⨁}^{\frac{n}{2}}ℂ={ℂ}^{\frac{n}{2}};$

  • si Modèle:Formule est impair :

    $ℳ{ℂ}_n\cong ℝ\oplus \underset{\frac{n-1}{2}\text{ facteurs}}{\underbrace{ℂ\oplus ℂ\oplus \cdots \oplus ℂ}}=ℝ\oplus {⨁}^{\frac{n-1}{2}}ℂ=ℝ\times {ℂ}^{\frac{n-1}{2}}=ℝ\oplus ℳ{ℂ}_{n-1};$

  • ce que l’on peut écrire de manière compacte : Modèle:Formule.
• Il s’ensuit immédiatement que :
  • si Modèle:Formule et Modèle:Formule ne sont pas simultanément impairs, Modèle:Formule ;
  • si Modèle:Formule et Modèle:Formule sont simultanément impairs, Modèle:FormuleModèle:Note.
• En utilisant les propriétés précédentes, la distributivité du produit tensoriel d'algèbres Modèle:Formule par rapport à la somme directe Modèle:Formule et l’isomorphismeModèle:Note Modèle:Formule, on démontre alors aisément que Modèle:Formule.

Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Segre

• Modèle:Formule.

Sous-algèbres

• Modèle:Formule.
• Modèle:Formule.
• D’où Modèle:Formule.
• Modèle:Formule.

Cas particulier : 𝓜ℂModèle:Ind

Au Modèle:XIXe siècle, après que l’idée de représenter les nombres complexes sous la forme géométrique d’un plan 2D a été avancée, les mathématiciens ont cherché à étendre la notion de complexe à l’espace 3D, mais sans succès. C’est finalement en abandonnant l’égalité du nombre de dimensions entre l’algèbre hypercomplexe cherchée et l’espace géométrique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans l’espace ont été découverts. Malgré le succès des quaternions, les recherches d’une algèbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriétés similaires aux opérations géométriques dans l’espace ont continué, plusieurs auteurs arrivant finalement et indépendamment à l’algèbre Modèle:FormuleModèle:Note ou l’un de ses isomorphes triviauxModèle:NoteModèle:,Modèle:Note.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:OuvrageModèle:Note
• Modèle:Ouvrage