Équation d'Euler-Lagrange

Équation d’Euler-Lagrange en application

L’équation d'Euler-Lagrange (en anglais, Euler–Lagrange equation ou ELE) est un résultat mathématique qui joue un rôle déterminant dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes réels de minimisation de longueur d'arc, tels que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques. Elle est nommée d'après Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange.

Notations

Modèle:Mvar désignera un espace vectoriel normé, Modèle:Math un intervalle réel, et $𝒢$ l'espace affine des fonctions Modèle:Math de [[Classe de régularité|classe CModèle:1]] telles que $x\left(t_i\right)=x_i$, où Modèle:Math sont deux vecteurs fixés de Modèle:Mvar.

Le vecteur dérivé d'une fonction $x\in 𝒢$ en un point Modèle:Math est noté $\dot{x}(t)$.

On se donne par ailleurs une fonction $ℒ:[t_0,t_1]\times E^2\to ℝ$ de classe CModèle:1.

Ses trois variables étant notées $t,x,\dot{x}$ (ce qui risque de prêter à confusion avec la notation précédente mais est d'un usage courant), ses trois applications différentielles partielles sont notées

• $\frac{\partial ℒ}{\partial t}$ (de $ℝ\times E^2$ dans $ℝ$) et
• $\frac{\partial ℒ}{\partial x},\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}$ (de $ℝ\times E^2$ dans Modèle:Mvar, le dual de Modèle:Mvar).

Lorsqu'on les compose par la fonction $[t_0,t_1]\to ℝ\times E^2,t\mapsto (t,x(t),\dot{x}(t))$ pour une fonction donnée $x\in 𝒢$, on obtient trois fonctions définies sur Modèle:Math (encore à valeurs respectivement dans $ℝ$, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar), que l'on note usuellement de la même façon (bien que, à nouveau, cela prête à confusion), ce qui donne en particulier un sens aux deux fonctions

$\frac{\partial ℒ}{\partial x}\text{ et }\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}:[t_0,t_1]\to E^{\prime }$.

Exemple

Un exemple est une application du principe de Fermat. L'objectif est de déterminer un chemin optique plan, dont les coordonnées sont notées horizontalement Modèle:Mvar et verticalement x, pour respecter les notations de l'énoncé ci-dessus. Le rayon lumineux traverse le vide, à l'exception de la zone correspondant aux valeurs de Modèle:Mvar situées entre –1 et 1. Sur cette bande, on suppose que l'indice Modèle:Mvar n'est plus égal à 1 mais à 1/|t|. Entre les deux bandes, le chemin optique a pour longueur :

$\mathrm{L}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(t,x(t),\dot{x}(t))\mathrm{d}t\text{avec}f(t,x,y)=n_t\sqrt{1+y^2}=\frac{\sqrt{1+y^2}}{|t|}$.

Puisqu'ici $\frac{\partial f}{\partial x}=0$, l'équation d'Euler-Lagrange stipule que la dérivée partielle de Modèle:Mvar par rapport à sa troisième variable est une constante, notée ici Modèle:Mvar, si elle est appliquée aux variables Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et sa dérivée. On obtient :

$C=\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}=\frac{\dot{x}}{|t|\sqrt{1+{\dot{x}}^2}}\text{donc}{\dot{x}}^2=C^2{t}^2(1+{\dot{x}}^2)$.

Ce résultat s'écrit encore, en posant Modèle:Math :

$\dot{x}=\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}$.

On reconnait l'équation d'une portion de cycloïde.

Identité de Beltrami

Modèle:Voir Un cas particulier fréquent est celui où la fonction $ℒ$ est indépendante de Modèle:Mvar. Un corollaire de l'équation d'Euler-Lagrange est alors l'identité de Beltrami :

$ℒ-\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}\dot{x}=C$.

La lettre Modèle:Mvar désigne une constante réelle, qui est aussi la transformée de Legendre de la fonction $ℒ$ par rapport à la variable $\dot{x}$. Modèle:Démonstration

Un exemple historique célèbre est la courbe brachistochrone. La question posée revient à trouver la courbe reliant un point A à un point B, situé à une altitude plus faible, tel qu'un point matériel partant du point A sans vitesse initiale et glissant sans frottement sur la courbe rejoigne le plus rapidement possible le point B.

Lorsque $ℒ$ est une fonction homogène de la variable $\dot{x}$, le théorème d'Euler appliqué à l'identité de Beltrami implique $ℒ=C$.

Liens externes

• Modèle:MathWorld