Constante de Gelfond

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant Modèle:Math, c'est-à-dire [[e (nombre)|Modèle:Math]] à la puissance [[Pi|Modèle:Math]].

Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres Modèle:Math (différent de 0 et 1) et Modèle:Math (non rationnel) sont algébriques, or

${\mathrm{e}}^{\pi }=({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }{)}^{-\mathrm{i}}=(-1{)}^{-\mathrm{i}}$

(En considérant, la détermination principale de l'argument).

Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, 2Modèle:Exp.

Valeur numérique

Sous forme décimale, la constante est égale à

${\mathrm{e}}^{\pi }=23,140692632\dots$ (Modèle:OEIS)

Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération

$k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}$

où $k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Après N itérations, l'approximation est donnée par

${\left(\frac{k_N}{4}\right)}^{\frac{-1}{2^N}}.$

Développement décimal remarquable

Le nombre

${\mathrm{e}}^{\pi }-\pi =19,99909997\dots$ (Modèle:OEIS)

est un nombre presque entier.