Nombre presque entier

En mathématiques récréatives, un nombre presque entier est un nombre irrationnel qui est de façon surprenante très proche d'un entier.

Quelques cas

Puissances du nombre d'or

Des exemples de nombres presque entiers sont les puissances entières élevées du nombre d'or $\phi$. Pour mémoire :

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\simeq 1,618\dots$.

On a par exemple :

${\phi }^{17}=3571,000280\dots$

${\phi }^{18}=5777,999827\dots$

${\phi }^{19}=9349,000107\dots$

${\phi }^{20}=15126,999934\dots$

${\phi }^{21}=24476,000040\dots$

${\phi }^{22}=39602,999974\dots$.

Le fait que ces valeurs s'approchent de nombres entiers s'explique du fait que le nombre d'or est un nombre de Pisot-Vijayaraghavan : un entier algébrique réel strictement supérieur à Modèle:Math dont les éléments conjugués (ici : $-1/\phi$) sont en module strictement inférieurs à Modèle:Math. Il en résulte que pour $n\gg 1$ :

${\phi }^n\approx L_n-\frac{(-1{)}^n}{L_n}$

où Modèle:Mvar est le Modèle:Mvar-ième nombre de Lucas.

Constante de Ramanujan

Une proportion importante des premiers nombres de la forme ${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{n}}$ ont une partie décimale commençant par plusieurs Modèle:Math :

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{6}}=\text{entier}+0,99\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{17}}=\text{entier}+0,99\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{18}}=\text{entier}+0,99\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{22}}=\text{entier}+0,99\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{25}}=\text{entier}+0,999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{37}}=\text{entier}+0,9999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{43}}=\text{entier}+0,999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{58}}=\text{entier}+0,999999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{59}}=\text{entier}+0,99\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{67}}=\text{entier}+0,99999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{74}}=\text{entier}+0,999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}=\text{entier}+0,99999999999925\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{232}}=\text{entier}+0,99999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{719}}=\text{entier}+0,9999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{1169}}=\text{entier}+0,9999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{1467}}=\text{entier}+0,99999999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{4075}}=\text{entier}+0,99999\dots$

${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{5773}}=\text{entier}+0,9999\dots$.

En supposant que la partie décimale ait une répartition uniforme entre Modèle:Math et Modèle:Math, on s'attendrait à observer statistiquement, parmi les nombres ${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{n}}$ :

• un nombre (au lieu des onze observés) dont la partie décimale commence par Modèle:Math, pour Modèle:Math ;
• un nombre (au lieu des neuf observés) dont la partie décimale commence par Modèle:Math, pour Modèle:Math ;
• un nombre (au lieu des dix observés) dont la partie décimale commence par Modèle:Math, pour Modèle:Math.

Logarithme de la distance de Modèle:Math à l'entier le plus proche en fonction de Modèle:Mvar pour Modèle:Mvar = 163, 58 et 67.

Le nombre ${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}$, qui est le plus étonnant, est parfois nommé constante de Ramanujan, à cause de l'anecdote suivante : en 1975, Martin Gardner proposa dans la revue Scientific American un poisson d'avril, dans lequel il prétendait que ce nombre était un entier (à la précision des ordinateurs de l'époque) et que cela avait été prédit par le mathématicien indien Ramanujan. En réalité, on savait depuis 1934 que les nombres de cette forme sont non seulement non entiers, mais transcendants (c'est une conséquence du théorème de Gelfond-Schneider) ; d'autre part, en utilisant des développements en série liés aux formes modulaires, Ramanujan avait effectivement remarqué d'autres nombres presque entiers, comme Modèle:Math, mais cette propriété pour Modèle:Math avait été mentionnée par Charles Hermite dès 1859Modèle:,.

Autre fait remarquable : trois des nombres de la liste correspondent aux valeurs de Modèle:Mvar qui sont les trois plus grands nombres de Heegner : Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math. On a :

$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{43}}& \approx 12^3(9^2-1{)}^3+744-0,00022\\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{67}}& \approx 12^3(21^2-1{)}^3+744-0,0000013\\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}& \approx 12^3(231^2-1{)}^3+744-0,00000000000075.\end{array}$

La présence des carrés (de Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math) est en relation avec certaines séries d'Eisenstein.

Les puissances de la constante de Ramanujan sont également des nombres presque entiers, quoique de moins en moins au fur et à mesure que l'exposant augmente :

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math.

Le fait que ces puissances soient elles aussi des nombres presque entiers est une coïncidence supplémentaire, elle ne découle pas du fait que la constante de Ramanujan soit un nombre presque entier (la différence entre le carré du nombre entier proche de Modèle:Math et le nombre entier proche de Modèle:Math est de Modèle:Math).

Par ailleurs, ces puissances sont proches d'un entier alternativement par en dessous (exposants impairs) et par en dessus (exposants pairs). Enfin, la courbe représentant le logarithme de la distance de la puissance Modèle:Mvar-ième à l'entier le plus proche est remarquablement régulière de la puissance Modèle:Math à la puissance Modèle:Math (voir la figure ci-dessus).

Ceci s'observe également mais dans une moindre mesure pour les puissances de Modèle:Math (approximations toutes par en dessous) :

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math

et pour les puissances de Modèle:Math :

Modèle:Math

Modèle:Math

Modèle:Math.

Des records ?

${\left(\frac{\ln (640320^3+744)}{\pi }\right)}^2=163,\underset{28}{\underbrace{0000000000000000000000000000}}232\dots$.

François Le Lionnais cite ce cas (qui n'est d'ailleurs qu'une variante de la constante de Ramanujan) comme étant Modèle:Citation.

Pourtant, l'approximation suivante, avec trente et un zéros après la virgule, dépasse ce record :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3}{{\mathrm{e}}^{2\pi n/13}-1}=119,\underset{31}{\underbrace{0000000000000000000000000000000}}959374585\dots$ ;

on trouvera des approximations plus précises encore, découvertes récemment par ordinateur, dans l'article « Mathématiques expérimentales ».

Autres cas

Des nombres presque entiers utilisant les constantes [[pi|Modèle:Math]] et [[e (nombre)|Modèle:Math]] ont souvent étonné et amusé les mathématiciens. Par exemple :

${\mathrm{e}}^{\pi }-\pi =19,999099979\dots$ ;

${\pi }^{\sqrt[3]{93}}-{\mathrm{e}}^{\sqrt[3]{93}}=86,0000188811\dots$ ;

$|{\pi }^{\mathrm{e}\mathrm{i}}-1|=1,99977658827\dots$.

Voir aussi

Article connexe

Coïncidence mathématique

Liens externes

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