Nombre de Heegner

En théorie des nombres, un nombre de Heegner est un entier positif Modèle:Mvar sans facteur carré tel que l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire ℚ[[[:Modèle:Math]]Modèle:Racine] est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car l'anneau est de Dedekind).

Le théorème de Stark-Heegner indique qu'il y a exactement neuf nombres de Heegner :

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163 (Modèle:OEIS).

Ce résultat fut conjecturé par Gauss et démontré, à quelques erreurs près, par Kurt Heegner en 1952. Alan Baker et Harold Stark ont indépendamment démontré la conjecture en 1966, et Stark a comblé la preuve de Heegner.

La détermination de ces nombres est un cas particulier du problème du nombre de classes, et ils sous-tendent plusieurs résultats arithmétiques frappants. Par exemple, pour certains nombres de Heegner Modèle:Mvar, le nombre ${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{d}}$ est presque entier.

Polynôme d'Euler générateur de nombres premiers

Le polynôme d'Euler$$n^2+n+41,$$

qui donne des nombres premiers pour n = 0, ..., 39, est lié au nombre de Heegner 163 = 4×41 − 1.

Modèle:Lien a montré que$$n^2+n+p$$donne des nombres premiers pour $n=0,\dots ,p-2$ si et seulement si son discriminant $1-4p$ est l'opposé d'un nombre de Heegner.

(Remarquons que $(p-1{)}^2+(p-1)+p=p^2$, de sorte que $p-2$ est maximal.)

Les nombres de Heegner 1, 2, et 3 n'étant pas de la forme 4p − 1 avec p ≥ 2, les nombres de Heegner qui fonctionnent sont donc 7, 11, 19, 43, 67, 163, ce qui correspond aux coefficients p = 2, 3, 5, 11, 17, 41 ; ces derniers ont été nommés nombres chanceux d'Euler par François Le Lionnais.

Presque entiers et constante de Ramanujan

La constante de Ramanujan est le nombre Modèle:Math, qui est à la fois transcendant (comme Modèle:Math pour tout nombre algébrique non nul Modèle:Math, d'après le théorème de Gelfond-Schneider) et presque entier :$${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743,99999999999925\dots \approx 640320^3+744.$$Ce nombre a été découvert en 1859 par le mathématicien Charles Hermite. Cette coïncidence est due à la multiplication complexe et au q-développement du j-invariant.

Détail

Cela s'explique, en bref, par le fait que $j\left(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right)$ est entier lorsque Modèle:Mvar est de Heegner, et$${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{d}}\approx -j\left(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right)+744$$par q-développement.

Si $\tau$ est un irrationnel quadratique, alors le j-invariant est un entier algébrique de degré égal au nombre de classes de $\mathbb{Q}(\tau )$. Ainsi, si l'extension quadratique imaginaire $\mathbb{Q}(\tau )=\mathbb{Q}\left(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right)$ a un nombre de classes égal à 1 (donc si Modèle:Mvar est un nombre de Heegner), alors le j-invariant est entier.

Le q-développement de j, son développement en série de Fourier en $q={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\tau }$ s'écrit :$$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+196884q+\cdots .$$Les coefficients $c_n$ croissent asymptotiquement comme$$\ln c_n=4\pi \sqrt{n}+O(\ln n),$$et les termes suivants Modèle:Pas clair. Donc pour $q\ll \frac{1}{200000}$, j est bien approximé par ses deux premiers termes. Posons $\tau =\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$ d'où$$q=-{\mathrm{e}}^{-\pi \sqrt{163}}\text{donc}\frac{1}{q}=-{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}.$$Or$$j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=-640320^3$$donc$$-640320^3\approx -{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}+744,$$c'est-à-dire$${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}\approx 640320^3+744.$$Modèle:Refnecce qui explique pourquoi ${\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}$ est très proche d'un entier.

Formules autour de pi

Les frères Chudnosky trouvent en 1987 que$$\frac{1}{\pi }=\frac{12}{640320^{\frac{3}{2}}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!(k!{)}^3(-640320{)}^{3k}},$$en utilisant le fait que$$j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=-640320^3.$$D'autres séries similaires existent, cf. Modèle:Lien.

Autres nombres de Heegner

Pour les quatre nombres de Heegner les plus grands, on obtient les approximations suivantes,$$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{19}}& \approx 12^3{(3^2-1)}^{3}00+744-0,22=000096^3+744-0,22\\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{43}}& \approx 12^3{(9^2-1)}^{3}00+744-0,00022=000960^3+744-0,00022\\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{67}}& \approx 12^3{(21^2-1)}^{3}0+744-0,0000013=005280^3+744-0,0000013\\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}& \approx 12^3{(231^2-1)}^3+744-0,00000000000075=640320^3+744-0,00000000000075\end{array}$$où le carré provient de certaines séries d'Eisenstein. Pour les nombres de Heegner $d<19$, les nombres obtenus ne sont pas proches d'entiers. Les j-invariants sont fortement factorisables :$$\begin{array}{cc}j\left(\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right)& =000096^3={(2^5\cdot 3)}^3\\ j\left(\frac{1+\sqrt{-43}}{2}\right)& =000960^3={(2^6\cdot 3\cdot 5)}^3\\ j\left(\frac{1+\sqrt{-67}}{2}\right)& =005280^3={(2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 11)}^3\\ j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)& =640320^3={(2^6\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)}^3.\end{array}$$Ces nombres transcendants, en plus d'être proche d'entiers (c'est-à-dire proches d'entiers algébriques de degré 1), sont aussi approximés par des nombres algébriques de degré 3,$$\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{19}}& \approx x^{24}-24,00031;& x^3-2x-2& =0\\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{43}}& \approx x^{24}-24,00000031;& x^3-2x^2-2& =0\\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{67}}& \approx x^{24}-24,0000000019;& x^3-2x^2-2x-2& =0\\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}& \approx x^{24}-24,0000000000000011;& x^3-6x^2+4x-2& =0\end{array}$$Les racines des polynômes de droite peuvent être explicités en fonction de la fonction êta de Dedekind η(τ), une forme modulaire impliquant une racine 24-ième, cause de l'exposant 24 ci-dessus. De même par des nombres algébriques de degré 4,$$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{19}}& \approx 3^5{(3-\sqrt{2(1-\frac{96}{24}+1\sqrt{3\cdot 19})})}^{-2}-12,00006\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{43}}& \approx 3^5{(9-\sqrt{2(1-\frac{960}{24}+7\sqrt{3\cdot 43})})}^{-2}-12,000000061\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{67}}& \approx 3^5{(21-\sqrt{2(1-\frac{5280}{24}+31\sqrt{3\cdot 67})})}^{-2}-12,00000000036\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}& \approx 3^5{(231-\sqrt{2(1-\frac{640320}{24}+2413\sqrt{3\cdot 163})})}^{-2}-12,00000000000000021\dots \end{array}$$Si $x$ désigne les expressions entre parenthèses (e.g. $x=3-\sqrt{2(1-\frac{96}{24}+1\sqrt{3\cdot 19})}$), les équations quartiques sont respectivement satisfaites:$$\begin{array}{cc}{x}^4-004\cdot 3x^3+0000\frac{2}{3}(96+3)x^2-000000\frac{2}{3}\cdot 3(96-6)x-3& =0\\ x^4-004\cdot 9x^3+000\frac{2}{3}(960+3)x^2-00000\frac{2}{3}\cdot 9(960-6)x-3& =0\\ x^4-04\cdot 21x^3+00\frac{2}{3}(5280+3)x^2-000\frac{2}{3}\cdot 21(5280-6)x-3& =0\\ x^4-4\cdot 231x^3+\frac{2}{3}(640320+3)x^2-\frac{2}{3}\cdot 231(640320-6)x-3& =0\\ \end{array}$$Notons à nouveau l'apparition des entiers $n=3,9,21,231$.

De même, par des nombres algébriques de degré 6,$$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{19}}& \approx {\left(5x\right)}^3-6,000010\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{43}}& \approx {\left(5x\right)}^3-6,000000010\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{67}}& \approx {\left(5x\right)}^3-6,000000000061\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}& \approx {\left(5x\right)}^3-6,000000000000000034\dots \end{array}$$où les x sont respectivement donnés par$$\begin{array}{cc}5x^6-000096x^5-10x^3+1& =0\\ 5x^6-000960x^5-10x^3+1& =0\\ 5x^6-005280x^5-10x^3+1& =0\\ 5x^6-640320x^5-10x^3+1& =0\end{array}$$avec une nouvelle apparition des j-invariants.

Ces approximations algébriques peuvent être exprimées explicitement en fonction de la fonction êta de Dedekind. Par exemple, si $\tau =\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$, alors,$$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}& ={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}\right)}^{24}-24,00000000000000105\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}& ={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}\right)}^{12}-12,00000000000000021\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{163}}& ={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{\pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}\right)}^6-6,000000000000000034\dots \end{array}$$où les expressions mises à la puissance sont exactement celles écrites plus haut.

Nombre de classes égal à 2

Les trois nombres 88, 148, 232, pour lesquels le corps quadratique $\mathbb{Q}\left[\sqrt{-d}\right]$ a un nombre de classes égal à 2, ne sont pas des nombres de Heegner mais partagent certaines propriétés dont les approximations par des entiers. Par exemple$$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{88}}+8744& \approx 00002508952^2-0,077\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{148}}+8744& \approx 00199148648^2-0,00097\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{232}}+8744& \approx 24591257752^2-0,0000078\dots \\ \end{array}$$et$$\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{22}}-24& \approx 00{(6+4\sqrt{2})}^6+0,00011\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{37}}+24& \approx {(12+2\sqrt{37})}^6-0,0000014\dots \\ {\mathrm{e}}^{\pi \sqrt{58}}-24& \approx {(27+5\sqrt{29})}^6-0,0000000011\dots .\\ \end{array}$$

Premiers consécutifs

Soit p un nombre premier impair. Il semblerait que la suite (à valeurs dans $[2,p-1]$) des $k^{2}modp$ pour $k=2,3,\dots ,\frac{p-1}{2}$ (par symétrie, il suffit de considérer ceux-là car ${(p-k)}^2\equiv k^{2}modp$) donne une succession de nombres composés suivie d'une succession de nombres premiers, si et seulement si p est un nombre de Heegner.

Articles connexes

• Entier de Gauss (cas n = 1)
• Entier d'Eisenstein (cas n = 3)
• Problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginaires (le nombre de classes est le cardinal du groupe des classes)