Identité de Vandermonde

En mathématiques combinatoires, l'identité de Vandermonde, ou formule de Vandermonde, ainsi nommée en l'honneur d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), ou encore formule de convolution, affirme que, pour des entiers naturels $k,m,n$, on a

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})=\sum _{\stackrel{0⩽i,j⩽k}{i+j=k}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})=\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-i})=\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})$

où les nombres $(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a})$, avec $a,b\in \mathbb{N}$, sont des coefficients binomiaux, c'est-à-dire que $(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a})=\frac{b!}{a!(b-a)!}$ si $0⩽a⩽b$ (le point d'exclamation « ! » désignant la factorielle) et $(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a})=0$ si $a>b$.

Les contributions non nulles à la somme de droite proviennent des valeurs de Modèle:Mvar pour lesquelles les coefficients binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire pour $\max (0,k-m)⩽j⩽\min (n,k)$.

Le cas $n=m=k$ donne l'expression suivante du coefficient binomial central : $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\sum _{i=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}^2$.

Démonstrations

Algébrique

La formule peut être démontrée de façon algébrique, en utilisant la formule du binôme pour développer de deux façons l'identité polynomiale

$(1+X{)}^{m+n}=(1+X{)}^m(1+X{)}^n$

puis en identifiant les coefficients du terme de degré $k$ de chacun des membres de l'égalité.

Combinatoire

Une preuve par double dénombrement est aussi possible : les deux expressions correspondent à deux façons de dénombrer les parties à $k$ éléments de E ∪ F, où E et F sont deux ensembles disjoints fixés, de cardinaux respectifs $m$ et $n$.

Probabiliste

Les ensembles E et F précédents sont modélisés par une urne contenant $m$ boules rouges et $n$ boules bleues. On effectue un tirage sans remise de $k$ boules. On demande la loi de probabilité du nombre $X$ de boules rouges ; la réponse est $P(X=i)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-i})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})}$ (il s'agit de la loi hypergéométrique).

L'identité de Vandermonde s'interprète alors comme le fait que la somme de ces probabilités est égale à 1.

Identité de Chu-Vandermonde

L'identité de Chu-Vandermonde — du nom de Vandermonde et du mathématicien chinois Zhu Shijie (environ 1260 - environ 1320) — généralise l'identité de Vandermonde à des valeurs non entières (en utilisant la définition générale des coefficients binomiaux) :

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+t}{n})=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{n-k})$,

qui vient d'une réécriture de la « formule du binôme pour les factorielles décroissantes » établie par Vandermonde, exprimant que la suite des polynômes $x^{\underset{\_}{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$ est de type binomial :

$(s+t{)}^{\underset{\_}{n}}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})s^{\underset{\_}{n-k}}{t}^{\underset{\_}{k}}$.

L'identité de Chu-Vandermonde est vraie pour tous nombres complexes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.

Elle est elle-même un cas particulier du théorème hypergéométrique de Gauss qui affirme que

${}_2{F}_1(a,b;c;1)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(c-a-b)}{\mathrm{\Gamma }(c-a)\mathrm{\Gamma }(c-b)}$

où Modèle:Math est la fonction hypergéométrique et Modèle:Math est la fonction gamma. Il suffit de prendre Modèle:Math et d'appliquer l'identité

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-n-1}{k})$ à plusieurs reprises.

Voir aussi

• q-analogue de l'identité de Vandermonde

Lien externe

Modèle:En BinomialCoefficients contient quelques démonstrations de l'identité de Vandermonde