Q-analogue de l'identité de Vandermonde

En mathématiques, plus précisément en combinatoire, le q-analogue de l'identité de Vandermonde (ou formule de convolution) s'écrit, en utilisant la notation standard des coefficients q-binomiaux :

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})}_q=\sum _{i+j=k}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})}_q{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}_q{q}^{(m-i)j}=\sum _j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-j})}_q{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}_q{q}^{(m-k+j)j}$.

Les contributions non nulles à cette somme proviennent des valeurs de Modèle:Mvar pour lesquelles les coefficients q-binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire $\max (0,k-m)⩽j⩽\min (n,k)$.

Démonstration

La preuve habituelle de l'identité de Vandermonde simple consiste à développer le produit $(1+X{)}^m(1+X{)}^n$ de deux manières différentes. À la suite de Stanley, on peut procéder de manière similaire ; d'après le q-analogue de la formule du binôme, on a :

$\prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\sum _{k=0}^{m+n}{q}^{\frac{k(k-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})}_q{X}^k$.

Mais on peut aussi écrire :

$\prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\prod _{k=0}^{m-1}(1+q^{k}X)\prod _{k=0}^{n-1}(1+q^k(q^{m}X))$,

soit :

$\prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\left(\sum _i{q}^{\frac{i(i-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})}_q{X}^i\right)\cdot \left(\sum _j{q}^{mj+\frac{j(j-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}_q{X}^j\right).$

En identifiant les termes en $X^k$, et posant $i=k-j$, on obtient :

$q^{\frac{k(k-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})}_q=q^{\frac{(k-j)(k-j-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-j})}_q{q}^{mj+\frac{j(j-1)}{2}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}_q,$

ce qui donne le résultat annoncé en simplifiant l'exposant de Modèle:Mvar.