Espace normal
En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal.
Définition
Soit X un espace topologique. On dit que X est normal[1] s'il est séparé et s'il vérifie de plus l'axiome de séparation T4[2] :
Exemples
- Tout espace topologique métrisable est normal[3].
En effet, il est parfaitement normal, ce qui entraîne qu'il est normal et même complètement normal.
Par exemple : ℝModèle:Exp muni de sa topologie usuelle est normal. - Tout ensemble totalement ordonné, muni de la topologie de l'ordre, est (complètement) normal car (héréditairement) collectivement normal et même monotonement normal.
- Tout espace compact est normal[4]. Plus généralement, tout espace paracompact est collectivement normal.
- Un exemple d'espace compact non complètement normal est la planche de Tychonoff. En effet, la planche de Tychonoff épointée n'est pas normale (bien que localement compacte).
Propriétés
Propriétés élémentaires
- Si deux espaces topologiques sont homéomorphes et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi.Modèle:Retrait
- Tout fermé d'un espace normal est normal (pour la topologie induite).Modèle:Retrait
Conditions nécessaires et suffisantes
Il existe de nombreuses caractérisations de la propriété TModèle:Ind (donc de la normalité, quand on impose de plus à l'espace d'être séparé). Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition. Citons-en trois, dont la première n'est qu'une reformulation élémentaire mais les deux autres sont bien plus techniques :
- Un espace topologique X est TModèle:Ind si, et seulement si, pour tout fermé F de X et tout ouvert O contenant F, il existe un ouvert U contenant F tel que l'adhérence de U soit incluse dans O[5] :
- Lemme d'Urysohn : Un espace topologique X est TModèle:Ind si, et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue qui vaut 0 sur F et 1 sur G.
- Théorème de prolongement de Tietze : Pour un espace topologique X, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
- X est TModèle:Ind ;
- pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans ℝ, il existe une application continue de X dans ℝ qui prolonge f ;
- pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans un segment réel [–M, M], il existe une application continue de X dans [–M, M] qui prolonge f.
- Un espace X est TModèle:Ind (si et) seulement si tout recouvrement ouvert localement fini de X possède une partition de l'unité subordonnée.
Condition suffisante de non-normalité
Modèle:Démonstration/début Soit X un espace séparable, c'est-à-dire contenant un sous-ensemble dénombrable dense D. Toute application continue de X dans ℝ est alors déterminée par sa restriction à D, donc l'ensemble de ces applications est de cardinal inférieur ou égal à |ℝ|Modèle:Exp = (2Modèle:Exp)Modèle:Exp = 2Modèle:Exp.
Soit F un fermé discret de cardinal 2Modèle:Exp. L'ensemble des applications continues de F dans ℝ est alors de cardinal [[Théorème de Cantor|2Modèle:Exp > 2Modèle:Exp]], donc elles ne sont pas toutes continûment prolongeables à X.
D'après le théorème de prolongement de Tietze, X n'est donc pas normal. Modèle:Démonstration/fin
Par cet argument, le plan de Sorgenfrey et le plan de Moore ne sont pas normaux.
La non-normalité du plan de Sorgenfrey prouve que le produit de deux espaces normaux n'est pas toujours normal (voir aussi : Droite de Michael).
Histoire
Cette notion provient du mathématicien Heinrich Tietze et date de 1923[6]. Nicolas Bourbaki précise à son sujet : Modèle:Citation
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Ouvrage
Lien externe
Modèle:Palette Axiomes de séparation Modèle:Portail
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ Il suffit pour cela qu'il vérifie [[Espace T1|TModèle:Ind]] et TModèle:Ind.
- ↑ F. Paulin Topologie, analyse et calcul différentiel, École Normale supérieure (2008-2009), Modèle:P..
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Bourbaki, éd. 2006, Modèle:P. ou Modèle:Bourbaki-Topologie, Modèle:P..