Espace uniformément convexe

En mathématiques, un espace uniformément convexe est un espace vectoriel muni d'une norme dont les boules sont « bien arrondies », en un sens plus fort que dans un espace strictement convexe. Tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les [[Espace Lp|espaces Modèle:Math]] pour Modèle:Math.

Définition

Un espace uniformément convexe est un espace de Banach — ou seulement, selon les auteurs, un espace vectoriel normé — tel que, pour tout Modèle:Math, il existe un Modèle:Math pour lequel, pour tout couple Modèle:Math de vecteurs,

$(\Vert x\Vert \le 1\text{et}\Vert y\Vert \le 1\text{et}\Vert x-y\Vert \ge \epsilon )\Rightarrow \Vert \frac{x+y}{2}\Vert \le 1-\delta .$

ou encore : pour tout Modèle:Math, il existe un Modèle:Math pour lequel, pour tout couple Modèle:Math de vecteurs,

$\Vert x-y\Vert \ge \epsilon \max (\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert )\Rightarrow \Vert \frac{x+y}{2}\Vert \le (1-\eta )\max (\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert ).$

Le concept de convexité uniforme a été introduit par Modèle:Lien.

De manière intuitive, cela signifie que les boules sont bien arrondies : les cordes suffisamment longues de la sphère ont leur milieu suffisamment loin du bord de la boule, le tout avec un caractère uniforme par rapport aux choix de la longueur de la corde. On peut comparer cette notion avec celle d'espace strictement convexe, moins exigeante. Cette propriété peut ne pas être conservée si on passe à une norme équivalente. Ainsi dans le cas du plan ℝModèle:2, la norme ║ ║Modèle:Ind est uniformément convexe, alors que les normes ║ ║Modèle:Ind ou ║ ║Modèle:Ind ne le sont pas.

Propriétés

• Si E est un espace de Banach uniformément convexe alors, pour toute forme linéaire continue non nulle f sur E, il existe dans E un unique vecteur unitaire x tel que f(x) = ║f║.

Modèle:Démonstration/début Supposons, sans perte de généralité, que ║f║ = 1 et soit (xModèle:Ind) une suite de vecteurs unitaires telle que f(xModèle:Ind) → 1. Alors, par encadrement, ║(xModèle:Ind + xModèle:Ind)/2║ → 1 quand m, n → Modèle:Math donc, par convexité uniforme, la suite (xModèle:Ind) est de Cauchy. Sa limite fournit le x souhaité. Il est unique par convexité stricte. Modèle:Démonstration/fin

• Le théorème de Milman-Pettis énonce que tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif.
  Ce théorème a été prouvé indépendamment par David Milman et Billy James Pettis. Shizuo Kakutani en donna une preuve différente via la propriété de Banach-SaksModèle:,, puis John Ringrose publia une preuve plus courte. Le point précédent permet de le considérer comme un corollaire d'un théorème ultérieur de James, mais il est plus économique de le démontrer directement.

Modèle:Démonstration/début Puisque Modèle:Math (identifié à son image dans Modèle:Math par l'inclusion isométrique canonique) est complet, il est fortement fermé dans Modèle:Math. Pour montrer qu'il lui est égal, il suffit donc de montrer que

$\mathrm{\forall }z\in E^{″},\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }y\in E,\Vert z-y\Vert \le \epsilon .$

Supposons, sans perte de généralité, que ║Modèle:Math║ = 1 et notons Modèle:Math la boule unité fermée de Modèle:Math et Modèle:Math celle de Modèle:Math. Pour la topologie faible-*, comme Modèle:Math est dense dans Modèle:Math (Théorème de Goldstine, vrai pour n'importe quel espace vectoriel normé Modèle:Math), Modèle:Math appartient à son adhérence, donc à celle de Modèle:Math pour tout voisinage Modèle:Math de Modèle:Math.

Considérons alors un élément Modèle:Math de Modèle:Math, pour un voisinage Modèle:Math de Modèle:Math choisi de la façon suivante :

• Modèle:Math correspond au Modèle:Math dans la définition de la convexité uniforme,
• Modèle:Math est tel que $\Vert f\Vert =1\text{ et }|⟨z,f⟩-1|\le \delta ,$
• $V=\{x\in E^{″};|⟨x,f⟩-1|\le \delta \}.$

Pour tout Modèle:Math on a alors :

$\Vert \frac{x+y}{2}\Vert \ge \left|⟨\frac{x+y}{2},f⟩\right|\ge 1-\delta \text{ donc }\Vert x-y\Vert \le \epsilon .$

Ainsi, Modèle:Math est inclus dans le fermé Modèle:Math donc son adhérence (faible-*) aussi. Comme Modèle:Math appartient à cette adhérence, il est bien à distance au plus Modèle:Math de l'élément Modèle:Math de Modèle:Math.

• L'identité du parallélogramme montre que tout espace de Hilbert est uniformément convexe.
• Les inégalités de Clarkson ou Modèle:LienModèle:, permettent de montrer que les espaces Modèle:Math pour Modèle:Math sont uniformément convexes.

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