Inégalités de Clarkson

En mathématiques, les inégalités de Clarkson, portant le nom de James A. Clarkson, sont des résultats concernants les espaces $L^p$. Elles permettent, pour deux fonctions dans $L^p$, de majorer la norme de leur somme et de leur différence par les normes de ces fonctions.

Elles servent à démontrer que l'espace $L^p$ est $p$-uniformément convexe lorsque $2\le p<\mathrm{\infty }$.

Énoncé

Soit $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ un espace mesurable, et soit $f,g\in L^p(X)$. Alors, pour $2\le p<+\mathrm{\infty }$,

${\Vert \frac{f+g}{2}\Vert }_{L^p}^p+{\Vert \frac{f-g}{2}\Vert }_{L^p}^p\le \frac{1}{2}(\Vert f{\Vert }_{L^p}^p+\Vert g{\Vert }_{L^p}^p).$

Et pour $1<p\le 2$,

${\Vert \frac{f+g}{2}\Vert }_{L^p}^q+{\Vert \frac{f-g}{2}\Vert }_{L^p}^q\le {(\frac{1}{2}\Vert f{\Vert }_{L^p}^p+\frac{1}{2}\Vert g{\Vert }_{L^p}^p)}^{\frac{q}{p}},$

où

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Le cas $p\ge 2$ est le plus simple à prouver : c'est une application de l'inégalité triangulaire et de la convexité de

$x\mapsto x^p.$

Voir aussi

• Identité du parallélogramme

Références

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.