Conjugué

Représentation géométrique (diagramme d'Argand) de z et de son conjugué z̅ dans le plan complexe. Le conjugué est obtenu par symétrie par l'axe des réels.

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe Modèle:Math est le nombre complexe formé de la même partie réelle que Modèle:Math mais de partie imaginaire opposée.

Définition

Le conjugué $a-b\mathrm{i}$ d'un nombre complexe $z=a+b\mathrm{i}$, où Modèle:Math et Modèle:Math sont nombres réels, est notéModèle:, $\overline{z}$ ou $z^{*}$. Dans le plan, le point d'affixe $\overline{z}$ est le symétrique du point d'affixe $z$ par rapport à l'axe des abscisses. Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

$\begin{array}{ccc}ℂ& ⟶& ℂ\\ z& ⟼& \bar{z}\end{array}$

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un automorphisme du corps ℂ.

Propriétés

On prend $(z,w)\in {ℂ}^2$.

• $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
• $\overline{zw}=\overline{z}\times \overline{w}$
• $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ si Modèle:Math est non nul
• $\mathrm{Im}\left(z\right)=0$ si et seulement si $\overline{z}=z$
• $\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$
• $z\bar{z}={\left|z\right|}^2$
• $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}$ pour Modèle:Math non nul.

Quaternions

Le conjugué du quaternion $q=a+bi+cj+dk$ est $q^{*}=a-bi-cj-dk$.

Propriété

• $q\cdot q^{*}=a^2+b^2+c^2+d^2$
• $\frac{1}{q}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\cdot q^{*}$
• On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaire

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.