Application identité

En mathématiques, l'application identité ou la fonction identité est l'application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie l'argument sur lui-même. Formellement, sur un ensemble $E$, c'est l'application :

$\begin{array}{cccc}{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E:& E& ⟶& E\\ & x& ⟼& x\end{array}$

Le graphe de l'application identité de $E$ est appelé la diagonale du produit cartésien $E\times E$. Pour $E=ℝ$ l'ensemble des réels, ce graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

Graphe de la fonction identité sur $ℝ$.

Notations

L'application identité de $E$ est notée ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_E$ ou ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble $E$ sur lequel on travaille, on la note simplement $\mathrm{I}\mathrm{d}$ ou $\mathrm{i}\mathrm{d}$ .

Propriétés remarquables

Pour toute application $f$ d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$, on a :

$f\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E=f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_F\circ f$

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de $E$ dans lui-même muni de la composition de fonctions, et du groupe des bijections de $E$ dans lui-même, appelé le groupe symétrique de $E$.

En algèbre linéaire

Si $E$ est un espace vectoriel, alors ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ est une application linéaire et son déterminant vaut $1$.

De plus, si $E$ est de dimension finie $n$, alors la matrice représentant ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ est la matrice identité $I_n$ dans n'importe quelle base $B$ de $E$ :

${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_B({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=I_n$

En topologie

L'application identité permet de comparer deux topologies : sur $X$, une topologie ${\tau }_2$ est plus fine qu'une topologie ${\tau }_1$ lorsque ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ est continue de $(X,{\tau }_2)$ dans $(X,{\tau }_1)$.

Notes et références

Notes

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