Théorème de Thébault

Modèle:Homon Le nom de théorème de Thébault ne correspond pas à un théorème précis, mais plutôt à une série de problèmes posés par le mathématicien français Victor Thébault (1882 - 1960).

Le problème de Thébault Modèle:N°

Figure du problème de Thébault Modèle:N°.

Le problème de Thébault Modèle:N° est un problème de géométrie euclidienne portant sur le parallélogramme. Il fut posé par Thébault en 1937 qui le démontra en 1938Modèle:Ref nécessaire.

Ce théorème peut être considéré comme l'équivalent pour les quadrilatères du théorème de Napoléon qui concerne les triangles.

La rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi }{2}$ transforme C en D, B en D', le carré de côté [CB] a pour image le carré de côté [DA].

Donc N a pour image P, soit ON = OP et l'angle $\widehat{NOP}$ est droit. NOP est un triangle rectangle isocèle en O.

De même par la rotation de centre M et d'angle $\frac{\pi }{2}$, le carré de côté [DA] a pour image le carré de côté [CB].

Donc P a pour image N ; MP = MN et le triangle NMP est rectangle isocèle en M.

MNOP a ses quatre angles droits et des côtés consécutifs égaux : c'est un carré. Modèle:Clr

Le problème de Thébault Modèle:N°

Triangles équilatéraux à l'extérieur du carré.

Triangles équilatéraux à l'intérieur du carré.

Le problème de Thébault Modèle:N° est un problème de géométrie euclidienne portant sur le triangle équilatéral.

• Démonstration par raisonnement géométrique dans le cas externe

Par construction on a $DC=DA$ et $CM=AL$.

Comme $\widehat{DCM}=90^{\circ }+60^{\circ }=\widehat{LAD}$ alors les triangles $DCM$ et $DAL$ sont superposables.

Ces deux triangles étant isocèles, on a pour les angles à-la-base $\widehat{CDM}=\widehat{LDA}=\frac{180^{\circ }-(90^{\circ }+60^{\circ })}{2}=15^{\circ }$.

Ainsi $\widehat{MDL}=90^{\circ }-\widehat{CDM}-\widehat{LDA}=90^{\circ }-15^{\circ }-15^{\circ }=60^{\circ }$.

Puisque $\widehat{MDL}=60^{\circ }$ et $DM=DL$, le triangle $DML$ est donc équilatéral.

• Démonstration par raisonnement géométrique dans le cas interne

Par construction on a $AD=AL$ et $CD=CM$.

Comme $\widehat{DAL}=90^{\circ }-60^{\circ }=\widehat{MCD}$ alors les triangles $DCM$ et $DAL$ sont superposables.

Ces deux triangles étant isocèles, on a pour les angles à-la-base $\widehat{ADL}=\widehat{MDC}=\frac{180^{\circ }-(90^{\circ }-60^{\circ })}{2}=75^{\circ }$.

Ainsi $\widehat{MDL}=\widehat{ADL}-\widehat{ADM}$

$=\widehat{ADL}-(90^{\circ }-\widehat{MDC})$

$=75^{\circ }-(90^{\circ }-75^{\circ })$

$=60^{\circ }$

Puisque $\widehat{MDL}=60^{\circ }$ et $DM=DL$, le triangle $DML$ est donc équilatéral.

Le problème de Thébault Modèle:N°

Figure du théorème de Sawayama-Thébault.

Le problème de Thébault Modèle:N°, aussi connu sous le nom de Théorème de Sawayama-Thébault, est un théorème de géométrie euclidienne portant sur l'alignement de trois points

La première démonstration connue a été réalisée en 1973 par le mathématicien néerlandais H. Streefkerk.

Jean-Louis Ayme a publié, en 2003, une solution purement synthétique de ce problème. Il a également effectué des recherches historiques et a découvert que ce résultat avait été démontré en 1905 par Y. Sawayama, instructeur à l'école militaire de Tokyo.

Voir aussi

Liens externes

• Modèle:Lien web (une démonstration géométrique du théorème Modèle:N°)
• Modèle:Lien web

Article connexe

Théorème de van Aubel quand les carrés sont construits autour d'un quadrilatère quelconque