Lemme de Cesàro

Modèle:Homon En analyse réelle ou complexe, la moyenne de Cesàro d'une suite Modèle:Math est la suite obtenue en effectuant la moyenne arithmétique des Modèle:Math premiers termes de la suite.

Le nom de Cesàro provient du mathématicien italien Ernesto Cesàro (1859-1906), mais le théorème est déjà démontré dans le Cours d'Analyse (1821) de Cauchy.

Le théorème de Cesàro ou lemme de Cesàro précise que, lorsque la suite Modèle:Math a une limite, la moyenne de Cesàro possède la même limite.

Il existe cependant des cas où la suite Modèle:Math n'a pas de limite et où la moyenne de Cesàro est, elle, convergente. C'est cette propriété qui justifie l'utilisation de la moyenne de Cesàro comme procédé de sommation de séries divergentes.

Moyenne de Cesàro

Soit une suite ${\left(a_n\right)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$. Alors la suite des moyennes de Cesàro est la suite de terme général :

$c_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}$

Le terme d'indice Modèle:Mvar est ainsi la moyenne arithmétique des Modèle:Mvar premiers termes de $(a_n)$.

Une suite dont la suite des moyennes de Cesàro converge est dite « convergente au sens de Cesàro », ou « en moyenne de Cesàro ».

Lemme de Cesàro

Limite infinie

Si une suite de réels $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ a pour limite Modèle:Math ou Modèle:Math, il en est de même de la suite de ses moyennes de Cesàro. Modèle:Démonstration

Suites divergentes

La réciproque du lemme de Cesàro est fausse : il existe des suites divergentes pour lesquelles la moyenne de Cesàro converge. C'est par exemple le cas de la suite périodique

$s_n=(1,0,1,0,1,\dots )$

divergente mais qui a pour limite au sens de Cesàro 1/2.

Lemme de l'escalier

Un énoncé équivalent au théorème de Cesàro (également dans le cas Modèle:Math infini ci-dessus) est : pour toute suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, si Modèle:Math alors Modèle:Math (on passe d'un énoncé à l'autre par télescopage, en posant $u_n=\sum _{0<k\le n}{a}_k$ et inversement, Modèle:Math). C'est cet énoncé qui figure dans Modèle:Harvsp.

Application aux séries divergentes

Modèle:Article détaillé La moyenne de Cesàro donne un procédé de sommation de certaines séries divergentes au sens usuel.

Exemple de la série de Grandi

La série de Grandi est la série associée à la suite

$u_n=(-1{)}^n$

dont les sommes partielles sont

$s_n=1-1+1-1+\cdots +(-1{)}^{n-1}$.

La série de Grandi est divergente mais la moyenne de Cesàro des sommes partielles converge vers 1/2 (voir plus haut).

On associe alors à la série de Grandi la somme $S=1/2$.

Euler proposa le résultat 1/2 avec une autre méthode : si l'on suppose que la somme est bien définie, notons-la $S$, alors

$S=1-1+1-1+\cdots$

donc

$S-1=-1+1-1+\cdots =-S$

et donc

$S=\frac{1}{2}$.

Le point non prouvé est alors l'existence de $S$, i.e. la pertinence des calculs menés. L'enjeu du travail sur les séries divergentes consiste justement à montrer que la valeur attribuée a un sens mathématique (par exemple, qu'elle ne dépend pas de la méthode employée).

Utilisations

Une utilisation notable de la moyenne de Cesàro est faite dans le cadre des séries de Fourier : les sommes de Fejér sont les moyennes de Cesàro des sommes partielles de la série de Fourier. Pour la série de Fourier, les théorèmes de convergence sont délicats ; au contraire, les sommes de Fejér vérifient des résultats de convergence très forts, décrits par le théorème de Fejér.

Le produit de Cauchy de deux séries convergentes est une série convergente pour le procédé de sommation de Cesàro.

La moyenne de Cesàro est un procédé de sommation de séries divergentes particulièrement appliqué dans la théorie des séries de Dirichlet.

Si une suite Modèle:Math de réels strictement positifs possède une limite Modèle:Math, le lemme de Cesàro appliqué à Modèle:Math montre que la suite de ses moyennes géométriques Modèle:Sqrt tend vers Modèle:Math. Ce qui se réécrit : si une suite Modèle:Math de réels strictement positifs est telle que Modèle:Math alors Modèle:Sqrt Modèle:Math.

Généralisation

Il existe plusieurs généralisations de la moyenne de Cesàro, au travers du théorème de Stolz-Cesàro et de la moyenne de Riesz. Le procédé de Cesàro est souvent appelé moyenne (C,1). Pour chaque entier k, il existe une moyenne de Cesàro d'ordre k, permettant de sommer certaines séries divergentes que les procédés (C, n) ne somment pas pour n < k.

Il existe beaucoup d'autres procédés de sommationModèle:,Modèle:,, dont celui de Borel.

Articles connexes

• Sommation de Cesàro
• Lemme de Kronecker
• Règle de d'Alembert