Théorème de factorisation de Weierstrass

Modèle:Confusion Modèle:Homon En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de factorisation de Weierstrass, nommé en l'honneur de Karl Weierstrass, affirme que les fonctions entières peuvent être représentées par un produit infini, appelé produit de Weierstrass, mettant en jeu leurs zéros. Il peut se concevoir comme l'analogue du théorème fondamental de l'algèbre à l'analyse complexe (les fonctions entières y étant régulièrement décrites en analogie avec les polynômes de l'algèbre).

Le théorème de factorisation de Weierstrass

Du développement en série entière suivant pour Modèle:Math :

$\ln (1-u)=-\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{u^n}{n}=-u-\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{3}-\dots -\frac{u^n}{n}-\dots$

on déduit que la fonction tronquée aux Modèle:Mvar premiers termes

$E(u,m)=(1-u){\mathrm{e}}^{u+u^2/2+\dots +u^m/m}$,

est sensiblement égale à 1 sur [–1 ; 1], sauf dans un voisinage de Modèle:Math où elle admet un zéro d'ordre 1. Ces facteurs Modèle:Math sont appelés facteurs primaires de Weierstrass. Avec eux, Weierstrass a montré que pour toute fonction entière Modèle:Mvar d'ordre fini Modèle:Mvar et s'annulant sur les nombres complexes Modèle:Math, il existe un polynôme Modèle:Math de degré inférieur ou égal à Modèle:Mvar, et un entier Modèle:Math tels que l'on ait Modèle:, :

$f(s)=s^p\exp (P(s))\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}E(\frac{s}{a_n},m)$.

Le facteur Modèle:Mvar correspond aux fonctions ayant un zéro d'ordre Modèle:Mvar en 0.

Par la suite, Borel a précisé Modèle:Mvar et le degré du polynôme P. Le degré de P est égal à la partie entière de l'ordre Modèle:Mvar si Modèle:Mvar n'est pas entier. Il peut prendre la valeur Modèle:Mvar ou la valeur Modèle:Math si l'ordre Modèle:Mvar est entier. L'entier Modèle:Mvar est majoré par Modèle:Mvar. L'un des deux entiers au moins est égal à Modèle:Mvar si l'ordre est entier. Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.

Le théorème de Hadamard

Le théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini Modèle:Mvar s'énonce ainsi :

Il est une simple conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème suivant : Modèle:Énoncé

Exemples de factorisations et applications

La forme donnée par le théorème de factorisation peut souvent se réécrire (voir la section correspondante de l'article « Produit infini ») :

$f(z)=z^m{\mathrm{e}}^{\varphi (z)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z}{u_n})$, où les Modèle:Mvar sont les zéros de Modèle:Mvar ; en pratique, la difficulté est le plus souvent de déterminer la fonction Modèle:Math.

On a en particulier

• $\sin \pi z=\pi z\prod _{n\ne 0}(1-\frac{z}{n}){\mathrm{e}}^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$
• $\cos \pi z=\prod _{n\ne 0}(1-\frac{2z}{2n-1}){\mathrm{e}}^{2z/(2n-1)}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{4z^2}{(2n-1{)}^2})$
• Pour l'inverse de la fonction gamma, on a la formule analogue $1/\mathrm{\Gamma }(z)=z{\mathrm{e}}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n}){\mathrm{e}}^{-z/n}$ (formule due à Schlömilch)

Le produit infini correspondant à la fonction sinus a été découvert par Leonhard Euler, qui s'en est servi pour résoudre le problème de Bâle, et obtenir plus généralement, en identifiant le développement du produit avec celui de la fonction sinus en série de Taylor, les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers pairs :

$\zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{2k}}=\frac{|B_{2k}|(2\pi {)}^{2k}}{2(2k)!}$, où les Modèle:Math sont les nombres de Bernoulli.

Notant Modèle:Mvar la solution de l'équation Modèle:Math comprise entre Modèle:Math et Modèle:Math (pour Modèle:Mvar entier strictement positif), on peut de même obtenir le développement en produit infini :

$\sin x-x\cos x=\frac{x^3}{3}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{x_n^2})$, d'où l'on tire (par identification avec le développement en série de Taylor) le résultat $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x_n^2}=\frac{1}{10}$.

Voir aussi

Article connexe

Théorème de Mittag-Leffler

Bibliographie

Modèle:En Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Modèle:3e, Boston, McGraw Hill, 1987, Modèle:P.

Liens externes

• Modèle:MathWorld
• Modèle:MathWorld