Intégrale paramétrique

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d'intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration. Un exemple typique est la fonction gamma d'Euler définie par $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}\exp (-t)\mathrm{d}t$, pour laquelle on intègre sur $[0,+\mathrm{\infty }[$ par rapport à la variable d'intégration $t$, la variable $x$ étant ici le paramètre.

Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont la transformée de Fourier.

Définition formelle

Modèle:Énoncé Le plus souvent, dans les applications :

• l'entier naturel Modèle:Mvar est égal à 1 ;
• Modèle:Mvar est un ouvert de ℝ ;
• $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ est une partie d'un espace euclidien, implicitement munie des tribu et mesure de Lebesgue ou de Borel.
• les fonctions sont continues et les intégrales sont considérées au sens de Riemann, mais la théorie générale de Lebesgue s'applique à ce cas particulier : sur un segment, une fonction bornée est Riemann-intégrable si et seulement si elle est continue presque partout, et toute fonction Riemann-intégrable est Lebesgue-intégrable.

Exemples

Transformée de Fourier

Soit Modèle:Mvar une fonction intégrable de ℝⁿ dans ℂ, la transformée de Fourier de Modèle:Mvar est la fonction de ℝⁿ dans ℂ définie par :

$\hat{g}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{{ℝ}^n}{\int }\exp [-2i\pi (t|\omega )]g(\omega )\mathrm{d}\omega ,$

où $(\cdot |\cdot )$ désigne le produit scalaire usuel.

Fonction gamma d'Euler

Le graphe de la fonction gamma. Sur l'axe des abscisses, on fait varier le paramètre $x$.

La fonction gamma d'Euler est définie entre autres pour tout réel Modèle:Mvar strictement positif, par :

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}\exp (-t)\mathrm{d}t.$

Potentiel du champ de gravitation

Le potentiel du champ de gravitation Modèle:Math créé par un corps matériel Modèle:Mvar de densité variable Modèle:Mvar en un point Modèle:Mvar de ℝModèle:3 extérieur à Modèle:Mvar est donné par :

$V(x)=-G\underset{M}{\int }\frac{\rho (y)}{\Vert x-y{\Vert }_2}\mathrm{d}y,$

où Modèle:Mvar désigne la constante de gravitation et $\Vert \cdot {\Vert }_2$ la norme euclidienne.

Limite

Modèle:Ancre Modèle:Article détaillé Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que Modèle:Mvar est une partie de ℝ, que Modèle:Mvar est un réel adhérent à Modèle:Mvar, et que :

• $\mathrm{\forall }\omega \in \mathrm{\Omega }\underset{t\to x}{\lim }f(t,\omega )=\phi (\omega )$ pour une fonction $\phi$ ;
• il existe une application intégrable $g:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ telle que

$\mathrm{\forall }t\in T\mathrm{\forall }\omega \in \mathrm{\Omega }\Vert f(t,\omega )\Vert \le g(\omega )$.

Alors, le théorème de convergence dominée permet de prouver que Modèle:Mvar est intégrable et que

$\underset{t\to x}{\lim }F(t)=\int \phi (\omega )\mathrm{d}\mu (\omega ),$

soit encore :

$\underset{t\to x}{\lim }(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(t,\omega )\mathrm{d}\mu (\omega ))=\int (\underset{t\to x}{\lim }f(t,\omega ))\mathrm{d}\mu (\omega ).$

Remarques.

• La première hypothèse peut être affaiblie en supposant que la limite existe seulement pour presque tout Modèle:Math, sous réserve que l'espace mesuré $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ soit complet (ce qui est le cas pour les tribu et mesure de Lebesgue).
• La seconde hypothèse peut être doublement affaiblie en supposant seulement qu'il existe une fonction intégrable Modèle:Mvar telle que pour chaque élément Modèle:Mvar de Modèle:Mvar appartenant à un certain voisinage de Modèle:Mvar on ait : $\Vert f(t,\cdot )\Vert \le g$ presque partout.
• Les énoncés des sections suivantes possèdent des variantes analogues.
• L'énoncé ci-dessus, même ainsi renforcé, reste vrai quand Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont une partie et un élément d'un espace métrique autre que ℝ (par exemple [[Droite réelle achevée|Modèle:Surligner]] ou ℝModèle:2).

Continuité

Modèle:Article détaillé Continuité locale : si l'on reprend la section précédente en supposant de plus que Modèle:Mvar appartient à Modèle:Mvar (donc pour tout Modèle:Math, $f(\cdot ,\omega )$ est [[Continuité (mathématiques)#Définition locale|continue au point Modèle:Mvar]] et $\phi (\omega )=f(x,\omega )$), on en déduit que Modèle:Mvar est continue en Modèle:Mvar.

Modèle:Ancre Continuité globale : par conséquent, si Modèle:Mvar est continue sur Modèle:Math avec Modèle:Mvar partie ouverte (ou plus généralement : localement compacte) de ℝ et Modèle:Math fermé borné d'un espace euclidien, alors Modèle:Mvar est définie et continue sur Modèle:Mvar.

Dérivabilité

Modèle:Article détaillé La règle de dérivation sous le signe d'intégration est connue sous le nom de règle de Leibniz (pour d'autres règles portant ce nom, voir Modèle:Page h).

Étude locale

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que Modèle:Mvar est un intervalle de ℝ et que :

• pour tout Modèle:Math, $f(\cdot ,\omega )$ est dérivable sur Modèle:Mvar ;
• il existe une application intégrable Modèle:Math telle que

$\mathrm{\forall }t\in T,\Vert \frac{\partial f}{\partial t}(t,\cdot )\Vert \le g$.

Alors, pour tout $t\in T$ l'intégrale paramétrique Modèle:Mvar est dérivable au point Modèle:Mvar, l'application $\frac{\partial f}{\partial t}(t,\cdot )$ est intégrable, et :

$F^{\prime }(t)=\int \frac{\partial f}{\partial t}(t,\omega )\mathrm{d}\mu (\omega ).$

Étude globale

Avec les mêmes hypothèses que dans l'énoncé « Continuité globale » (Modèle:Mvar est continue sur Modèle:Math avec Modèle:Mvar partie localement compacte de ℝ et $\mathrm{\Omega }$ fermé borné d'un espace euclidien), si l'on suppose de plus que $\frac{\partial f}{\partial t}$ est définie et continue sur Modèle:Math, alors Modèle:Mvar est de [[Classe de régularité|classe CModèle:Exp]] sur Modèle:Mvar et pour tout Modèle:Math, on a :

$F^{\prime }(x)=\int \frac{\partial f}{\partial t}(x,\omega )\mathrm{d}\mu (\omega ).$

Forme générale unidimensionnelle

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.

Soit Modèle:Math : ℝModèle:2 → ℝModèle:Exp telle que Modèle:Math et $\frac{\partial f}{\partial x}$ soient continues sur ℝModèle:2, et soient Modèle:Math et Modèle:Math deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Alors, l'« intégrale paramétrique » (généralisée) Modèle:Math définie sur ℝ par :

$F(x)=\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,y)\mathrm{d}y$

est dérivable et

$F^{\prime }(x)=f(x,b(x))b^{\prime }(x)-f(x,a(x))a^{\prime }(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\mathrm{d}y.$

Remarque : pour une fonction Modèle:Math qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant Modèle:Math et Modèle:Math.

Théorème de Fubini

Modèle:Article détaillé Soient par exemple Modèle:Mvar une partie de ℝ^p, Modèle:Mvar une partie de ℝ^q, et

$f:X\times Y\to {ℝ}^n$

une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction $f(x,\cdot )$ est intégrable pour presque tout Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, l'intégrale paramétrique Modèle:Mvar définie par

$F(x)=\underset{Y}{\int }f(x,y)\mathrm{d}y$

est intégrable sur Modèle:Mvar, et l'on a :

$\underset{X\times Y}{\int }f=\underset{X}{\int }F$

(et même chose en intervertissant les rôles de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar).

Exemples de calcul

Technique de Feynman

La technique de Feynman (Modèle:Lang ou Modèle:Lang) est une méthode de calcul intégral décrite par Richard Feynman, qui consiste à définir une intégrale comme une valeur particulière d'une fonction sous forme d'une intégrale paramétrique pour donner une expression plus simple de cette fonction et donner la valeur de l'intégrale comme valeur de la fonction évaluée en un pointModèle:,Modèle:, Modèle:, .

Exemples

Intégrale de Serret

On veut calculer l'intégrale :

$$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x$$

Par la technique de Feynman, on considère la fonction :

$$I(a)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+ax)}{1+x^2}\mathrm{d}x$$

On a alors Modèle:Math et Modèle:Math. On calcule la dérivée de la fonction, en dérivant sous le signe intégral puis en décomposant la fraction en éléments simples :

$\begin{array}{cc}{I}^{\prime }(a)& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial }{\partial a}\left(\frac{\ln (1+ax)}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{(1+ax)(1+x^2)}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{1+a^2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}[\frac{a}{1+x^2}+\frac{x}{1+x^2}-\frac{a}{1+ax}]\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{1+a^2}{[a\arctan (x)+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)-\ln (1+ax)]}_{x=0}^{x=1}\\ & =\frac{1}{1+a^2}[a\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\ln (2)-\ln (1+a)].\end{array}$

On revient donc au calcul de l'intégrale par intégration :

$\begin{array}{cc}I=I(1)-I(0)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{I}^{\prime }(a)\mathrm{d}a& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}[\frac{\pi }{4}\frac{a}{1+a^2}+\frac{1}{2}\ln (2)\frac{1}{1+a^2}-\frac{\ln (1+a)}{1+a^2}]\mathrm{d}a\\ & ={[\frac{\pi }{4}\frac{1}{2}\ln (1+a^2)+\frac{1}{2}\ln (2)\arctan (a)]}_{a=0}^{a=1}-I\\ & =\frac{\pi }{4}\frac{1}{2}\ln (2)+\frac{1}{2}\ln (2)\frac{\pi }{4}-I.\end{array}$

Ce qui permet de conclure $I=\frac{\pi \ln (2)}{8}$.

Intégrale de Gauss

L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }.$

Cette égalité peut s'obtenir de plusieurs façons, dont une faisant intervenir les intégrales paramétriques

$F(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x\text{et}G(t)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t^2(1+x^2)}}{1+x^2}\mathrm{d}x$.

Voir aussi

Article connexe

Produit de convolution

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Planetmath