Équation de Cole-Cole

Modèle:Voir homonymes L'équation de Cole-Cole est un modèle de relaxation qui est souvent utilisé pour décrire la relaxation diélectrique de polymères.

Elle est donnée par

${\epsilon }^{*}(\omega )={\epsilon }_{\mathrm{\infty }}+\frac{{\epsilon }_s-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }}}{1+(i\omega \tau {)}^{1-\alpha }}$

où ${\epsilon }^{*}$ est la constante diélectrique (ou permittivité relative) complexe, ${\epsilon }_s$ et ${\epsilon }_{\mathrm{\infty }}$ sont les constantes diélectriques « statique » et « fréquence infinie », $\omega$ est la fréquence angulaire et $\tau$ est un temps caractéristique.

Le paramètre $\alpha$, qui prend une valeur comprise entre 0 et 1, permet de décrire différentes formes spectrales. Quand $\alpha =0$, le modèle Cole-Cole se réduit au modèle de Debye. Quand $\alpha >0$, la relaxation est étirée, c'est-à-dire qu'elle s'étend sur une plage plus large que la relaxation de Debye.

La séparation de la constante diélectrique complexe $\epsilon (\omega )$ a été donnée dans l'article original de Cole et Cole comme suit :

${\epsilon }^{\prime }={\epsilon }_{\mathrm{\infty }}+({\epsilon }_s-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }})\frac{1+(\omega \tau {)}^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau {)}^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau {)}^{2(1-\alpha )}}$

${\epsilon }^{″}=\frac{({\epsilon }_s-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }})(\omega \tau {)}^{1-\alpha }\cos \alpha \pi /2}{1+2(\omega \tau {)}^{1-\alpha }\sin \alpha \pi /2+(\omega \tau {)}^{2(1-\alpha )}}$

Ces dernières expressions se traduisent, après introduction des fonctions hyperboliques, par

${\epsilon }^{\prime }={\epsilon }_{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{2}({\epsilon }_0-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }})[1-\frac{\sinh ((1-\alpha )x)}{\cosh ((1-\alpha )x)+\cos \alpha \pi /2}]$

${\epsilon }^{″}=\frac{1}{2}({\epsilon }_0-{\epsilon }_{\mathrm{\infty }})\frac{\cos \alpha \pi /2}{\cosh ((1-\alpha )x)+\sin \alpha \pi /2}$

Où $x=\ln (\omega \tau )$.

On retrouve les expressions de Debye lorsque $\alpha =0$.

La relaxation de Cole-Cole constitue un cas particulier de la relaxation de Havriliak-Negami lorsque le paramètre de symétrie (β) est égal à 1, c'est-à-dire lorsque les pics de relaxation sont symétriques. Un autre cas particulier de relaxation de Havriliak-Negami (Modèle:Nobr) est connu sous le nom de « relaxation de Cole-Davidson ».

Références

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