Équation de Hill

Modèle:Ne pas confondre LModèle:'équation de Hill est une équation différentielle linéaire du second ordre satisfaisant :

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+f(t)x=0$ avec Modèle:Mvar une fonction périodique.

Cette équation a été introduite par George William Hill en 1886 et revient notamment de manière récurrente en physique.

On peut toujours, à l'aide d'un changement de variable obtenir une équation similaire où Modèle:Mvar est π-périodique. On peut alors la réécrire sous la forme d'une série de Fourier :

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+({\theta }_0+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_n\cos (2nt)+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_m\sin (2mt))y=0$

Un cas important de cette classe d'équation est l'équation de Mathieu, où $f(t)=a-2q\cos (2t)$ et l'équation de Meissner avec $f(t)={\alpha }^2+{\omega }^2\mathrm{sgn}(\cos (t))$.

Les solutions de l'équation de Hill sont développées dans la théorie de Floquet.

Notes et références

• Modèle:MathWorld