Équation de Mathieu

En physique mathématique, on appelle équation de Mathieu une équation mise en évidence par Émile Mathieu au Modèle:XIXe siècle.

C'est un cas particulier de l'équation de Hill : $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+G(t)x=0$ où $G(t)$ est une fonction périodique, avec :

$G(t)=a-2q\cos (2t)$, périodique de période Modèle:Math.

Son comportement est assez particulier (résonance paramétrique, existence de sous-harmoniques, etc.). Émile Mathieu l'a rencontrée (1865) en étudiant les vibrations d'une membrane elliptique.

Ses solutions seront appelées les fonctions de Mathieu.

• G. W. Hill, dans sa théorie de la Lune, étudiera aussi une équation semblable.
• G. Floquet étudiera aussi le comportement de ces solutions (notion d'exposants de Floquet)
• Félix Bloch, en 1930, réutilisera ces résultats en physique du solide cristallin (donc à coefficients périodiques) : on parle des "fonctions de Bloch dans l'espace des « k » " de la zone de Brillouin.
• Le pendule paramétrique (le botafumeiro par exemple) relève aussi de cette équation.
• Les cristaux photoniques ont réactualisé ces études.

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