Équation des géodésiques

Dans une variété riemannienne, on obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition.

Un système de coordonnées $x^i$ étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale :

$\mathrm{d}s=\sqrt{\pm g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j}$.

Le signe optionnel $\pm$ est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable $\tau$, on écrit

$\dot{s}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\tau }=\sqrt{\pm g_{ij}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j}$,

où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à $\tau$. La longueur de la trajectoire est donc égale à l'intégrale :

$\int \sqrt{\pm g_{ij}{\dot{x}}^i{\dot{x}}^j}\mathrm{d}\tau$

En utilisant la méthode de Lagrange relative au calcul des variations pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

$\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^k}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau }\left(\frac{\partial \dot{s}}{\partial {\dot{x}}^k}\right)=0$

La paramétrisation canonique $\tau =s$ des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu les symboles de Christoffel : Modèle:Bloc emphase

Exemple

Considérons le demi-plan de Poincaré, dont les points sont repérés par un couple (x,y), avec y > 0. La métrique sur ce demi-plan est donnée au point (x,y) par :

$g(x,y)=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}$

Le calcul des symboles de Christoffel à partir de ce tenseur donne :

${\mathrm{\Gamma }}_{xx}^y=-{\mathrm{\Gamma }}_{xy}^x=-{\mathrm{\Gamma }}_{yx}^x=-{\mathrm{\Gamma }}_{yy}^y=\frac{1}{y}$

L'équation des géodésiques donne, en notant $v_x=\dot{x}$ et $v_y=\dot{y}$:

${\dot{v}}_x-\frac{2}{y}{v}_x{v}_y=0$

${\dot{v}}_y+\frac{1}{y}(v_x^2-v_y^2)=0$

auxquelles on peut rajouter l'équation $g(v_x,v_y)=1$ qui a servi d'hypothèse pour établir l'équation des géodésiques, ce qui donne ici :

$\frac{v_x^2+v_y^2}{y^2}=1$

Si on remplace $v_y$ par $\dot{y}$ dans la première équation, on obtient $\frac{d{v}_x}{dy}-\frac{2}{y}{v}_x=0$ dont les solutions sont de la forme $v_x=\alpha y^2=\dot{x}$ pour une certaine constante $\alpha$. La relation $\frac{v_x^2+v_y^2}{y^2}=1$ donne alors $v_y=\pm y\sqrt{1-{\alpha }^2{y}^2}=\dot{y}$.

Si $\alpha$ est nul, on obtient respectivement x constant et $y=e^{\pm t}$ (en choisissant convenablement l'origine des temps). La géodésique est une droite parallèle à Oy, parcourue de façon exponentielle. On s'approche indéfiniment du bord y=0 ou on s'éloigne indéfiniment en faisant tendre t vers l'infini.

Si $\alpha$ est non nul, l'intégration de l'équation $\dot{y}=\pm y\sqrt{1-{\alpha }^2{y}^2}$ conduit à $y=\frac{1}{\alpha \cosh (t)}$ (en choisissant convenablement l'origine des temps). Puis l'intégration de l'équation $\dot{x}=\alpha y^2$ conduit à $x=\frac{\tanh (t)}{\alpha }$ (à translation près parallèlement à Ox). On constate que $x^2+y^2=\frac{1}{{\alpha }^2}$ et les géodésiques sont des demi-cercles de diamètre porté par Ox. Quand t tend vers l'infini, on s'approche indéfiniment du bord Oy qui constitue une limite du demi-plan de Poincaré située à l'infini.

Physique

En relativité générale, l'équation des géodésiques est l'équation du mouvement d'une particule libreModèle:Sfn.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.

Articles connexes

• Variété riemannienne
• Courbure
• Géodésique