Équation différentielle de Bernoulli

Une équation différentielle de Bernoulli est une équation différentielle du premier ordre de la forme $y^{\prime }(x)+a(x)y(x)=b(x)y^m(x)$.

Description

On considère donc l'équation :

$y^{\prime }(x)+a(x)y(x)=b(x)y^m(x)$

où Modèle:Mvar est un réel différent de 0 et 1 et où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des applications définies sur un intervalle ouvert Modèle:Mvar de $ℝ$ et à valeurs réelles. En général, $m$ est un entier naturel, mais on peut prendre Modèle:Mvar réel à condition de chercher Modèle:Mvar à valeurs strictement positives. En général, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des fonctions continues.

Cette forme d'équation a été proposée par Jacques Bernoulli en 1695 et résolue un an plus tard par Leibniz grâce à un changement de fonction qui ramène à une équation différentielle linéaire.

En supposant que la fonction Modèle:Mvar est à valeurs strictement positives sur l'intervalle Modèle:Mvar, on peut diviser l'équation par Modèle:Math et on obtient

$\frac{y^{\prime }(x)}{y^m(x)}+a(x)\frac{1}{y^{m-1}(x)}=b(x)$

On pose

$u(x)=\frac{1}{y^{m-1}(x)}=y^{1-m}(x)$

donc

$u^{\prime }(x)=(1-m)y^{-m}(x)y^{\prime }(x)=\frac{(1-m)y^{\prime }(x)}{y^m(x)}.$

L'équation de Bernoulli sur Modèle:Mvar équivaut donc à l'équation différentielle linéaire d'ordre un sur Modèle:Mvar :

$\frac{1}{1-m}{u}^{\prime }(x)+a(x)u(x)=b(x)$

dont la solution générale est

$u(x)=\exp (-(1-m)\int a(t)\mathrm{d}t)(C+(1-m)\int b(t)\exp ((1-m)\int a(s)\mathrm{d}s)\mathrm{d}t),$

ce qui donne pour la fonction $y=u^{1/(1-m)}$ :

$y(x)=\exp (-\int a(t)\mathrm{d}t){(C+(1-m)\int b(t)\exp ((1-m)\int a(s)\mathrm{d}s)\mathrm{d}t)}^{\frac{1}{1-m}}$

La solution de cette équation qui passe par le point Modèle:Math est la fonction Modèle:Mvar définie par :

$y(x)=y_0\exp (-\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}a(t)\mathrm{d}t){(1+(1-m)y_0^{m-1}\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}b(t){[\exp (-\underset{x_0}{\overset{t}{\int }}a(s)\mathrm{d}s)]}^{m-1}\mathrm{d}t)}^{\frac{1}{1-m}}$.

Des solutions peuvent être cherchées parmi les fonctions qui ne sont pas partout positives sur leur domaine de définition, mais alors de nombreuses précautions doivent être prises quant aux domaines de validité des solutions.

Voir aussi

Sources et bibliographie

• Modèle:En John E. Sasser, Modèle:Pdf - History of ordinary differential equations - The first hundred year
• J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 4

Article connexe

• Jacques Bernoulli