Équation différentielle linéaire d'ordre un

Une équation différentielle linéaire d'ordre 1 est une équation différentielle de la forme :

$a{y}^{\prime }+by=c$

où $y$ est une fonction inconnue (d'une variable) et Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math trois fonctions données (de la même variable). La variable et les fonctions peuvent être réelles ou complexes.

Ces équations peuvent être résolues par des procédés systématiques, faisant appel au calcul de primitives. Dans certains cas particuliers, par exemple lorsque Modèle:Math est nulle (on parle alors d'équations différentielles linéaires homogènes), on peut espérer obtenir des expressions explicites des solutions à l'aide des fonctions usuelles.

En toute rigueur, il faut utiliser la dénomination équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1, pour signifier que la fonction inconnue Modèle:Math est à valeurs réelles ou complexes. L'équation différentielle matricielle $A{Y}^{\prime }+BY=C$, avec Modèle:Math et Modèle:Math vecteurs colonnes et Modèle:Math et Modèle:Math matrices carrées, est en effet elle aussi une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Cette acception plus générale est étudiée dans l'article « Équation différentielle linéaire ».

Équation différentielle linéaire homogène

À coefficients constants

Ce sont les équations qui se ramènent à $y^{\prime }+ky=0$ où Modèle:Math est un réel. On rencontre ce type d'équations :

• avec Modèle:Math positif dans la modélisation de la décroissance radioactive dans un milieu homogène et fermé ;
• avec Modèle:Math négatif lors de la modélisation de la croissance exponentielle d'une population. Ce modèle possède cependant ses limites, la population ne pouvant pas, dans un milieu fermé, croître indéfiniment. On lui préfère alors le modèle de Verhulst ou le modèle de Gompertz.

Les solutions d'une telle équation sont les fonctions définies sur ℝ par

$f(x)=C{\mathrm{e}}^{-kx}$

où Modèle:Math est un réel dont la valeur se détermine dès que sont connues les conditions initiales : si pour $x_0$ on a $f(x_0)=y_0$ alors $C=y_0{\mathrm{e}}^{k{x}_0}$.

On peut voir ce résultat comme un cas particulier du § ci-dessous, ou le démontrer directement.

Cas général

Dans le cas général, l'équation différentielle linéaire homogène s'écrit

$a(x)y^{\prime }(x)+b(x)y(x)=0$

ou en abrégé

$a{y}^{\prime }+by=0.$

En travaillant sur un intervalle Modèle:Math où la fonction Modèle:Math ne s'annule pas, et en notant $A$ une primitive de la fonction $\frac{b}{a}$, les solutions sur Modèle:Math sont les fonctions de la forme

$y(x)=K{\mathrm{e}}^{-A(x)}$

où Modèle:Math est une constante dont la valeur se détermine par la donnée des conditions initiales.

Le calcul de primitive Modèle:Math n'est pas toujours réalisable à l'aide des fonctions usuelles ; la solution peut donc n'avoir qu'une expression sous forme d'intégrale.

Cette résolution de l'équation homogène à coefficients non constants est, à son tour, un cas particulier du § « Cas général » ci-dessous.

Équation différentielle linéaire avec second membre

Si l'équation différentielle possède un second membre (si Modèle:Math est une fonction non nulle), il suffit de trouver une solution particulière $f_0$ de l'équation pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions $f_0+g$ où Modèle:Math est une solution générale de l'équation homogène.

Le problème est souvent de déterminer cette solution particulière.

Si Modèle:Math est la somme de deux fonctions Modèle:MathModèle:Ind et Modèle:MathModèle:Ind, on peut chercher une solution particulière de l'équation différentielle de second membre Modèle:MathModèle:Ind, puis une solution particulière de l'équation différentielle de second membre Modèle:MathModèle:Ind, puis faire la somme de ces deux solutions particulières. On obtient alors une solution particulière de l'équation de départ.

Cas où Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont des constantes non nulles

Nous obtenons en général des équations du type $y^{\prime }=my+p$. Ces équations servent à modéliser, par exemple, la charge ou la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.

L'ensemble des solutions sont les fonctions Modèle:Math définies sur ℝ par

$f(x)=C{\mathrm{e}}^{mx}-\frac{p}{m}$

où Modèle:Math est un réel se déterminant par la donnée des conditions initiales, par exemple, $f(x_0)=y_0$, ce qui donne alors :

$f(x)=(y_0+\frac{p}{m}){\mathrm{e}}^{-m{x}_0}{\mathrm{e}}^{mx}-\frac{p}{m}.$

Cas où Modèle:Math et Modèle:Math sont des constantes non nulles et Modèle:Math une fonction polynomiale ou trigonométrique

On cherchera alors une solution particulière de la forme

• d'un polynôme de degré n si Modèle:Math est un polynôme de degré n ;
• d'une combinaison linéaire de $\cos (\omega x+\varphi )$ et $\sin (\omega x+\varphi )$ si $c(x)=A\cos (\omega x+\varphi )+B\sin (\omega x+\varphi ).$

Cas général

Une méthode de résolution d'une équation avec second membre

$a{y}^{\prime }+by=c$

est la méthode de variation des constantes. Celle-ci consiste à se ramener, par un changement de fonction variable, à un problème de calcul de primitive.

On trouve ainsi, en supposant à nouveau que la fonction Modèle:Math ne s'annule pas sur l'intervalle Modèle:Math et que $A$ est une primitive sur Modèle:Math de la fonction $\frac{b}{a}$, que les fonctions $y$ solutions sur Modèle:Math de $a{y}^{\prime }+by=c$ sont les fonctions de la forme

$y(x)={\mathrm{e}}^{-A(x)}B(x)$,

où $B$ est une primitive quelconque de la fonction $\frac{c}{a}{\mathrm{e}}^A$.

Soit finalement, en fixant un point $x_0\in I$ :

$y(x)={\mathrm{e}}^{-A(x)}(K+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\frac{c(s)}{a(s)}{\mathrm{e}}^{A(s)}\mathrm{d}s)$,

où Modèle:Math est, à nouveau, une constante déterminée par les conditions initiales.

Il faut donc réaliser un second calcul de primitive, ce qui peut empêcher de donner l'expression de la solution à l'aide des fonctions usuelles.

Bibliographie

• Modèle:Demailly1.

Voir aussi

• Équation différentielle
• Équation différentielle linéaire d'ordre 2
• Parcours des équations différentielles