Fonction d'une variable complexe différentiable au sens réel

Cet article constitue essentiellement une introduction à l'article sur les équations de Cauchy-Riemann. Il définit, pour les fonctions d'une variable complexe et à valeurs complexes, les dérivées partielles (par rapport à $x,y$ ou $z,\overline{z}$) et la différentiabilité au sens réel.

On considère une fonction $f:U\to ℂ$ d'une variable complexe, définie sur un sous-ensemble ouvert U du plan complexe $ℂ$. On utilisera les notations suivantes :

• la variable complexe $z$ sera notée $x+iy$, où x, y sont réels ;
• les parties réelle et imaginaire de $f(z)=f(x+iy)$ seront notées respectivement $P(x,y)$ et $Q(x,y)$, c'est-à-dire : $f(z)=P(x,y)+iQ(x,y)$, où $P,Q$ sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Dérivées partielles d'une fonction d'une variable complexe

Dérivées partielles par rapport à x et y

Définition  : soit $z_0=x_0+i{y}_0\in U$, où $x_0,y_0$ sont réels.

• on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point $z_0$ par rapport à la variable x, notée $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ si la limite (finie) $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\underset{u\to 0,u\in {ℝ}^{*}}{\lim }\frac{f(z_0+u)-f(z_0)}{u}$ existe
• on dit que f admet une dérivée partielle (d'ordre 1) au point $z_0$ par rapport à la variable y, notée $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)$ si la limite (finie) $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=\underset{v\to 0,v\in {ℝ}^{*}}{\lim }\frac{f(z_0+iv)-f(z_0)}{v}$ existe

Propriété :

• la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ existe si et seulement si les dérivées partielles $\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)$, $\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)$ existent, et alors $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)$
• la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)$ existe si et seulement si les dérivées partielles $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)$, $\frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0)$ existent, et alors $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)+i\frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0)$

Dérivées partielles d'ordre supérieur :

• si, par exemple, $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ existe en tout point $z_0\in U$, on définit la fonction $\frac{\partial f}{\partial x}:U\to ℂ,z\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(z)$
• si, de plus, la fonction $\frac{\partial f}{\partial x}$ admet une dérivée partielle d'ordre 1 au point $z_0$ par rapport à la variable x, on la note $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(z_0)$ : $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(z_0)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)$. De manière analogue, si $\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(z_0)$ existe, on la note $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(z_0)$, etc.

Dérivées partielles par rapport à Modèle:Math et son conjugué

Définition  : on suppose que f admette des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y au point $z_0$. Alors, on définit :

• $\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)-i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0))$
• $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0)=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)+i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0))$

Propriété : en conservant les hypothèses précédentes

• $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0)$
• $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=i(\frac{\partial f}{\partial z}(z_0)-\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0))$

Différentiabilité au sens réel des fonctions d'une variable complexe

On dit qu'une fonction d'une variable complexe est différentiable au sens réel, ou $ℝ$-différentiable en un point si on peut l'approcher localement (au voisinage de ce point) par la somme d'une constante et d'une fonction $ℝ$-linéaire ; cette dernière est alors unique, et s'appelle différentielle de la fonction au point considéré.

Plus précisément, cela veut dire que $f$, en tant que fonction de deux variables réelles, admet au voisinage du point considéré un développement limité d'ordre 1, dont la différentielle est la partie linéaire.

• Définition  : on dit qu'une application $L:ℂ\to ℂ$ est $ℝ$-linéaire si : $\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ,\mathrm{\forall }\beta \in ℝ,\mathrm{\forall }z\in ℂ,\mathrm{\forall }w\in ℂ,L(\alpha z+\beta w)=\alpha L(z)+\beta L(w)$.
  • (alors : $\mathrm{\forall }u\in ℝ,\mathrm{\forall }v\in ℝ,L(u+iv)=uL(1)+vL(i)$)

• Définition  : on dit que la fonction $f:U\to ℂ$ est $ℝ$-différentiable en un point $z_0\in U$ s'il existe une application $ℝ$-linéaire $L:ℂ\to ℂ$ et une fonction $ϵ$ d'une variable complexe telles que $ϵ(h)\to 0$ lorsque $h\to 0$ et $f(z_0+h)=f(z_0)+L(h)+hϵ(h)$ (en supposant que $|h|<r$, où r est le rayon d'une boule ouverte telle que $B(z_0,r)\subset U$).
  • Lorsqu'elle existe, l'application L est unique (ceci résulte de la propriété suivante) ; on l'appelle $ℝ$-différentielle ou différentielle de $f$ en $z_0$ et on la note habituellement $df(z_0)$.
  • On dit que $f$ est $ℝ$-différentiable sur U si elle est $ℝ$-différentiable en tout point de U.

• Propriété : si $f$ est $ℝ$-différentiable en un point $z_0\in U$, alors :
  • elle est continue en $z_0$ ;
  • elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 en $z_0$, et $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=L(1)=df(z_0)(1)$, $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=L(i)=df(z_0)(i)$.

Démonstration :

• continuité : $f(z_0+h)=f(z_0)+L(h)+hϵ(h)\to f(z_0)$ lorsque $h\to 0$ parce que $L(h)\to 0$ (la $ℝ$-différentielle L est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, donc elle est continue) et $hϵ(h)\to 0$.
• existence et expression des dérivées partielles d'ordre 1 :
  • pour tout u réel tel que $|u|<r$, $f(z_0+u)=f(z_0)+L(u)+uϵ(u)=f(z_0)+uL(1)+uϵ(u)$ ; donc, si $u\ne 0$, $\frac{f(z_0+u)-f(z_0)}{u}=L(1)+ϵ(u)\to L(1)$ lorsque $u\to 0$ : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction $f$ en $z_0$ par rapport à $x$, et la relation $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=L(1)$
  • pour tout v réel tel que $|v|<r$, $f(z_0+iv)=f(z_0)+L(iv)+ivϵ(iv)=f(z_0)+vL(i)+ivϵ(iv)$ ; donc, si $v\ne 0$, $\frac{f(z_0+iv)-f(z_0)}{v}=L(i)+iϵ(iv)\to L(i)$ lorsque $v\to 0$ : ceci prouve l'existence de la dérivée partielle de la fonction $f$ en $z_0$ par rapport à $y$, et la relation $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0)=L(i)$.

• Théorème : une condition suffisante (non nécessaire) de $ℝ$-différentiabilité en un point, ou sur un ouvert.
  • Soit $z_0\in U$. Si $f$ admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à $z$ et $\overline{z}$) en tout point d'un voisinage de $z_0$, et si $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ (ou $\frac{\partial f}{\partial z}$, $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}$) sont continues en $z_0$, alors $f$ est $ℝ$-différentiable en $z_0$
  • En particulier, si $f$ admet des dérivées partielles d'ordre 1 par rapport à x et y (ou à $z$ et $\overline{z}$) définies et continues en tout point de l'ouvert U, la fonction $f$ est $ℝ$-différentiable sur U. Dans ce cas, on dit que $f$ est $ℝ$-continûment différentiable sur U, ou de classe $C^1$ sur U.

Lien externe

• Fonctions complexes et théorème de d'Alembert.

Voir aussi

• variable complexe
• variable (mathématiques)