Aire algébrique d'un polygone

En géométrie, l'aire algébrique d'un polygone est une généralisation à un polygone quelconque de l'aire géométrique d'un polygone simple, mesure de la superficie de la région délimitée par ce polygone. Sa définition permet un calcul simple à l'aide de déterminants. Elle est équivalente à la formule de Green-Riemann donnant l'aire de la région déterminée par une courbe fermée simple.

Définition et propriétés

Dans le plan affine euclidien orienté, le déterminant d'un couple de vecteurs $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ ne dépend pas de la base orthonormée directe dans laquelle il est calculé et donne l'aire du parallélogramme construit sur $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ si $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ est direct, son opposé sinon.

On définit l'aire algébrique d'un triangle $ABC$ quelconque par $\text{Aire}(ABC)=\overline{ABC}=\frac{1}{2}\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, donnant l'aire géométrique si $ABC$ est parcouru dans le sens direct, son opposé sinon.

Étant donné un polygone quelconque $A_1{A}_2\dots A_n$ on montre que l'expression $\overline{M{A}_1{A}_2}+\overline{M{A}_2{A}_3}+\cdots +\overline{M{A}_{n-1}{A}_n}+\overline{M{A}_n{A}_1}$ ne dépend pas du point $M$ choisi (car $\overline{MAB}-\overline{M^{\prime }AB}=\frac{1}{2}\det (\overrightarrow{M{M}^{\prime }},\overrightarrow{AB})$) et on la définit comme étant l'aire algébrique du polygone $A_1{A}_2\dots A_n$ :

$\text{Aire}(A_1{A}_2\dots A_n)=\overline{A_1{A}_2\dots A_n}=\overline{M{A}_1{A}_2}+\overline{M{A}_2{A}_3}+\cdots +\overline{M{A}_{n-1}{A}_n}+\overline{M{A}_n{A}_1}$.

On montre que cette définition redonne bien la définition de l'aire algébrique d'un triangle si $n=3$ , qu'elle reste inchangée par décalage circulaire sur les lettres $A_1{A}_2\dots A_n$, qu'on a la relation de type Chasles pour $1⩽p⩽n$ :

$\overline{A_1{A}_2\dots A_n}=\overline{A_1{A}_2\dots A_p}+\overline{A_p{A}_2\dots A_n{A}_1}$ (remarquer l'ajout de $A_1$ à la fin),

et qu'elle donne bien l'aire géométrique dans le cas d'un polygone simple (c'est-à-dire sans aucune intersection d'aucune paire quelconque de côtés, en dehors du sommet commun à deux côtés successifs) parcouru dans le sens direct.

De plus l'ajout d'un point aligné avec deux sommets consécutifs ne change pas l'aire : $\overline{A_1\dots A_i{A}_{i+1}\dots A_n}=\overline{A_1\dots A_{i}X{A}_{i+1}\dots A_n}$, formule pouvant être utilisée dans les deux sens.

Exemples

L'aire algébrique d'un quadrilatère croisé est égale à la différence des aires des deux triangles formés : dans la figure de gauche, on a $\begin{array}{cc}\text{Aire}(ABCD)& =\overline{IAB}+\overline{IBC}+\overline{ICD}+\overline{IDA}\\ & =\overline{IAB}-\overline{IDC}\\ \end{array}$).

Elle est donc nulle si ces deux triangles ont la même aire, par exemple pour un antiparallélogramme.

Pour un pentagone $ABCDE$, la relation ci-dessus donne :$\text{Aire}(ABCDE)=\overline{ABC}+\overline{CDEA}=\overline{ABC}+\overline{CDE}+\overline{EAC}$.

Dans la figure de droite, par une autre méthode, $\text{Aire}(ABCDE)=\overline{ABICJDE}=\overline{ABI}+\overline{ICJDEA}=\overline{ABI}+\overline{ICJDE}=\cdots =\overline{ABI}-\overline{IJC}+\overline{JDE}$.

Expression analytique

Les points $A_i$ ayant pour coordonnées $(x_i,y_i)$ dans une base orthonormée directe, l'aire algébrique se calcule par la formule :

$2\text{Aire}(A_1{A}_2\dots A_n)=\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{x}_2& x_3\\ y_2& y_3\end{array}\right|+\cdots +\left|\begin{array}{cc}{x}_n& x_1\\ y_n& y_1\end{array}\right|$.

Vu la disposition des produits successifs effectués, cette formule est désignée en anglais par shoelace formula (formule des lacets de chaussure).

Exemple numérique

Pour l'aire du pentagone de sommets :$$A(1,6),B(3,1),C(7,2),D(4,4),E(8,5)$$On obtient$$\begin{array}{cc}\text{Aire}(ABCDE)& =\frac{1}{2}(\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 6& 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}3& 7\\ 1& 2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}7& 4\\ 2& 4\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 4& 5\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}8& 1\\ 5& 6\end{array}\right|)\\ & =\frac{1}{2}((1-18)+(6-7)+(28-8)+(20-32)+(48-5))=16,5\\ \end{array}$$

Lien avec la formule de Green-Riemann

Posant $A_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})=A_1(x_1,y_1)$, on a $\text{Aire}(A_1{A}_2\dots A_n)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)$.

Or $x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i=-(y_i+y_{i+1})(x_{i+1}-x_i)+x_{i+1}{y}_{i+1}-x_i{y}_i$ ; comme $\sum _{i=1}^n(x_{i+1}{y}_{i+1}-x_i{y}_i)=0$, on obtient Modèle:Retrait Or le terme dans la somme est l'aire du trapèze de sommets $(x_i,0),(x_{i+1},0),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_i,y_i)$ et on retrouve Modèle:Retrait formule de Green-Riemann.

De la même façon, on a : Modèle:Retrait

Autre formulation

On peut aussi écrire :

$\begin{array}{cc}\text{Aire}(A_1{A}_2\dots A_n)& =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{y}_i(x_{i-1}-x_{i+1})\\ & =\frac{1}{2}(y_1(x_n-x_2)+y_2(x_1-x_3)+\cdots +y_n(x_{n-1}-x_1))\end{array}$

Polygones réguliers

Pour un polygone régulier convexe à Modèle:Math côtés de longueur Modèle:Math, l'aire $S$ est donnée par :

$S=\frac{n{a}^2}{4\tan (\pi /n)}.$

Voir aussi

• Théorème de Pick pour calculer l'aire d'un polygone dont les sommets sont sur une grille
• Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien