Algèbre de Hopf quasi triangulaire

En mathématiques, une algèbre de Hopf $H$ est dite quasi triangulaire s'il existe un élément inversible $R\in H\otimes H$ qui vérifie :

• $\mathrm{\forall }x\in H,{\mathrm{\Delta }}^{op}(x)=R\mathrm{\Delta }(x)R^{-1}$
• $(1\otimes \mathrm{\Delta })(R)=R_{13}{R}_{12}$
• $(\mathrm{\Delta }\otimes 1)(R)=R_{13}{R}_{23}$

où :

• $\mathrm{\Delta }$ est le coproduit de $H$
• Si $\mathrm{\Delta }(x)=\sum x_i^{(1)}\otimes x_i^{(2)}$, alors ${\mathrm{\Delta }}^{op}(x)=\sum x_i^{(2)}\otimes x_i^{(1)}$
• Si $R=\sum a_i\otimes b_i$, alors
  • $R_{12}=\sum a_i\otimes b_i\otimes 1$
  • $R_{13}=\sum a_i\otimes 1\otimes b_i$
  • $R_{23}=\sum 1\otimes a_i\otimes b_i$

Applications

Mécanique statistique

À partir des relations précédente, on prouve que $R$ fournit une solution de l'équation de Yang-Baxter quantique :

$R_{12}{R}_{13}{R}_{23}=R_{23}{R}_{13}{R}_{12}$

Algèbre et topologie

La donnée d'un algèbre de Hopf quasi triangulaire permet de construire des représentations du groupe de tresse. Plus précisément, la catégorie des représentations d'une algèbre de Hopf quasi triangulaire est une catégorie monoïdale tressée.

Voir aussi

• algèbre de Hopf
• algèbre de quasi-Hopf
• algèbre de Lie
• cohomologie des groupes de Lie

Références

• Modèle:Kassel95