Catégorie monoïdale tressée

En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute un analogue de la notion de commutativité.

Définition formelle

Soit $(𝒞,\otimes ,\alpha ,\lambda ,\rho )$ une catégorie monoïdale. On note ${\otimes }^{op}$ le produit tensoriel opposé à $\otimes$, c'est-à-dire le bifoncteur défini par $A{\otimes }^{op}B=B\otimes A$. On appelle tressage sur $𝒞$ un isomorphisme naturel $\beta$ de $-\otimes -$ vers $-{\otimes }^{op}-$. Autrement dit, pour tous objets $A,B$ de $𝒞$, $\beta$ induit un isomorphisme

${\beta }_{A,B}:A\otimes B⟶B\otimes A$

Représentation des groupes de tresses

Une catégorie monoïdale tressée est dite symétrique si, de plus, ${\beta }_{B,A}^{-1}={\beta }_{A,B}$.

Si $V$ est un objet de $𝒞$, quitte à fixer un parenthésage (puisque le produit tensoriel n'est associatif qu'à isomorphisme près), cela a un sens de considérer l'objet $V^{\otimes n}=V_1\otimes V_2\otimes \dots \otimes V_n$. Puisque les $V_i$ sont tous égaux à $V$, on a en particulier

$V_1\otimes \dots V_i\otimes V_{i+1}\otimes \dots \otimes V_n=V_1\otimes \dots V_{i+1}\otimes V_i\otimes \dots \otimes V_n$

où il s'agit cette fois ci d'une véritable égalité et non d'un isomorphisme. Par ailleurs, $\beta$ induit un isomorphisme

${\beta }_i:V_1\otimes \dots V_i\otimes V_{i+1}\otimes \dots \otimes V_n\to V_1\otimes \dots V_{i+1}\otimes V_i\otimes \dots \otimes V_n$

Ainsi, les applications ${\beta }_i$ pour $i=1\dots n-1$ peuvent être considérées comme des éléments du groupe des automorphismes de $V^{\otimes n}$. On en déduit qu'il existe un morphisme de groupes

$B_n⟶\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V^{\otimes n})$

qui envoie ${\sigma }_i$ sur ${\beta }_i$.

Article connexe

Produit tensoriel de deux modules