Algèbre de Toeplitz

En théorie des algèbres d'opérateurs, l'algèbre de Toeplitz $𝒯$ est la C*-algèbre universelle engendrée par une isométrie $S$ non unitaire. En clair, ce générateur vérifie : Modèle:Centrer Si on définit l'élément $P$ de cette algèbre par $P:=1-S{S}^{*}$, on obtient, comme pour toute isométrie, les relations : Modèle:Centrer

Réalisation concrète

Considérons l'espace de Hilbert $\mathscr{H}:=l^2(\mathbb{N})$. On peut définir l'opérateur de décalage (shift en anglais) $S$ sur $\mathscr{H}$ en posant : $S{e}_n=e_{n+1}.$ La sous-algèbre involutive normiquement fermée des opérateurs bornés sur $\mathscr{H}$ engendrée par $S$ est une réalisation de l'algèbre de Toeplitz $𝒯$.

Suite exacte courte

L'algèbre $𝕂$ des opérateurs compacts peut se réaliser dans $𝒯$ grâce à l'injection $\iota :e_{i,j}\mapsto (S^{*}{)}^{i}P{S}^j$ ($i,j\in \mathbb{N}$). On obtient en fait une suite exacte courte de C*-algèbres : Modèle:Centrer où $C(𝕋)$ est l'algèbre de fonctions continues sur le cercle unité $𝕋$ et le morphisme de $𝒯$ dans $C(𝕋)$ est celui qui à $S$ associe le générateur $z\mapsto z$ de $C(𝕋)$.

K-théorie

La K-théorie de cette algèbre est : Modèle:Centrer En outre, $K_0(𝒯)$ est générée par la classe de l'identité de $𝒯$.

On peut le voir, par exemple, en utilisant la notion d'appariement entre cohomologie cyclique et K-théorie. En effet, l'application $𝒯\to C(𝕋)$ permet de définir une trace sur $𝒯$ par référence à l'intégration sur $C(𝕋)$. Un calcul rapide montre alors que la classe de l'identité de $𝒯$ est non nulle. En travaillant un peu plus, on montre qu'il s'agit en fait d'un générateur.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage