Anticommutativité

Modèle:À sourcer En mathématiques, l'anticommutativité est la propriété caractérisant les opérations pour lesquelles intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé. Par exemple, une opération binaire ✻ est anticommutative si

$\mathrm{\forall }x,yx*y=-y*x$.

Cette propriété intervient en algèbre, en géométrie, en analyse et, par conséquent, en physique.

Définition

Étant donné un entier naturel Modèle:Math, une opération Modèle:Math-aire est dite anticommutative si intervertir deux arguments transforme le résultat en son opposé.

Plus formellement, une application $*:A^n\to G$ de l'[[Produit cartésien#Multiplets|ensemble de tous les Modèle:Math-uplets]] d'éléments d'un ensemble Modèle:Math dans un groupe Modèle:Math est dite anticommutative si pour toute permutation Modèle:Math de l'ensemble Modèle:Math, on a :

$\mathrm{\forall }(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in A^n{x}_1*x_2*\dots *x_n=\mathrm{sgn}(\sigma )x_{\sigma (1)}*x_{\sigma (2)}*\dots *x_{\sigma (n)}$,

où Modèle:Math désigne la signature de Modèle:Math.

Cette formule est à interpréter comme suit :

• si deux [[n-uplet|Modèle:Math-uplets]] se déduisent l'un de l'autre par une permutation impaire alors leurs images sont symétriques l'une de l'autre dans le groupe Modèle:Math ;
• si deux Modèle:Math-uplets se déduisent l'un de l'autre par une permutation paire alors ils ont même image.

La formule comporte donc un abus de notation puisqu'a priori, l'ensemble d'arrivée Modèle:Math est seulement un groupe, dans lequel « –1 » et la multiplication n'ont pas de sens précis. Dans le groupe Modèle:Math, noté ici additivement, Modèle:Math représente le symétrique (ou opposé) Modèle:Math d'un élément Modèle:Math.

Le cas Modèle:Math est particulièrement important. Une opération binaire $*:A\times A\to G$ est anticommutative si

$\mathrm{\forall }(x_1,x_2)\in A\times A{x}_1*x_2=-x_2*x_1$,

ce qui signifie que Modèle:Math est l'élément symétrique de Modèle:Math dans le groupe Modèle:Math.

Exemples

• Sont anticommutatifs :
  • la soustraction ;
  • le produit vectoriel ;
  • le crochet de Lie.
• Une application multilinéaire anticommutative est dite antisymétrique.

Propriété

Si le groupe Modèle:Math est tel que

$\mathrm{\forall }g\in G(g=-g\Rightarrow g=0)$,

c'est-à-dire si l'élément neutre est le seul élément qui soit égal à son symétrique alors :

• pour toute opération binaire ✻ anticommutative et tout élément Modèle:Math on a :

$x_1*x_1=0$ ;

• plus généralement, pour toute opération Modèle:Math-aire ✻ anticommutative, l'image de tout Modèle:Math-uplet $(x_1,\dots ,x_n)$ comportant une répétition (Modèle:C.-à-d. tel que $x_i=x_j$ pour au moins deux indices Modèle:Math et Modèle:Math distincts) est égale à l'élément neutre :

$[\mathrm{\exists }i\ne j{x}_i=x_j]\Rightarrow x_1*x_2*\dots *x_n=0$.

Cette propriété est plus connue dans le cas particulier d'une application Modèle:Math-linéaire antisymétrique $f:E^n\to F$ (Modèle:Math et Modèle:Math étant des espaces vectoriels sur un même corps Modèle:Math) : si la caractéristique de Modèle:Math est différente de 2 alors le seul vecteur de Modèle:Math égal à son opposé est le vecteur nul, si bien que Modèle:Math est alternée.

Voir aussi

Articles connexes

• Loi commutative
• Commutateur (théorie des groupes)
• Algèbre extérieure
• Physique statistique
• Matrice antisymétrique

Bibliographie

Modèle:Ouvrage, voir chap. 3 : « Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques ».