Application complètement positive
En mathématiques, une application positive entre deux C*-algèbres est une application linéaire qui est croissante, c'est-à-dire qui envoie tout Modèle:Lien sur un élément positif. Une application complètement positive est une application telle que pour tout entier naturel k, l'application induite, entre les algèbres correspondantes de matrices carrées d'ordre k, est positive. Les applications complètement positives entre C*-algèbres de matrices sont classifiées par un théorème dû à Man-Duen Choi. Le « théorème de Radon-Nikodym de Modèle:Lien pour les applications complètement positives » est une généralisation algébrique en dimension infinie.
Notions préliminaires
Pour tout entier naturel k, on note MModèle:Ind(ℂ) la C*-algèbre des matrices k × k à coefficients complexes et IModèle:Ind désignera son application identité.
Toute application linéaire Φ : A → B entre deux C*-algèbres induit naturellement une application linéaire [[Produit tensoriel de deux applications linéaires|IModèle:Ind⊗Φ]], de MModèle:Ind(ℂ)⊗A ≃ MModèle:Ind(A) dans MModèle:Ind(ℂ)⊗B ≃ MModèle:Ind(B) :
Φ est dite :
- positive si Φ(AModèle:Exp) ⊂ BModèle:Exp, c'est-à-dire si pour tout élément positif a de A, l'élément Φ(a) est positif dans B ;
- k-positive si l'application IModèle:Ind⊗Φ est positive ;
- complètement positive si elle est k-positive pour tout k.
Si A est une algèbre de matrices MModèle:Ind(ℂ), alors :
- les éléments positifs de A sont les matrices positives, c'est-à-dire les matrices hermitiennes dont toutes les valeurs propres sont positives ;
- les MModèle:Ind(A) sont elles-mêmes (à isomorphisme près) des algèbres de matrices : MModèle:Ind(ℂ)⊗MModèle:Ind(ℂ) ≃ MModèle:Ind(ℂ).
Pour une application linéaire Φ : MModèle:Ind(ℂ) → MModèle:Ind(ℂ), on peut donc expliciter IModèle:Ind⊗Φ en termes de matrices par blocs, et Φ est k-positive si et seulement si l'image par IModèle:Ind⊗Φ de toute matrice positive est une matrice positive.
Par exemple, l'application T : MModèle:Ind(ℂ) → MModèle:Ind(ℂ) qui à toute matrice associe sa transposée est clairement 1-positive (c'est-à-dire positive) mais n'est pas 2-positive. En effet, la matrice suivante de MModèle:Ind(ℂ)⊗MModèle:Ind(ℂ) ≃ MModèle:Ind(ℂ) est positive :
mais son image par IModèle:Ind⊗T est Modèle:Retrait
qui n'est pas positive puisque son déterminant vaut –1.
Théorème de Choi
À toute application linéaire Φ : MModèle:Ind(ℂ) → MModèle:Ind(ℂ) on associe sa « matrice de Choi » CModèle:Ind ∈ MModèle:Ind(ℂ)⊗MModèle:Ind(ℂ) ≃ MModèle:Ind(ℂ), définie par
Modèle:Retrait où les EModèle:Ind sont les unités matricielles formant la base canonique de MModèle:Ind(ℂ).
Modèle:Démonstration/début 3 ⇒ 1 étant immédiat, montrons que 1 ⇒ 2 et 2 ⇒ 3.
- La matriceModèle:RetraitvérifieModèle:RetraitSi Φ est n-positive, on en déduit queModèle:Retraitd'où 1 ⇒ 2.
- La preuve de 2 ⇒ 3[1] vient essentiellement du lien entre les différentes représentations de MModèle:Ind(ℂ) :
Supposons que CModèle:Ind est positive. Sa décomposition spectrale est alors de la formeModèle:Retraitou encore (puisque ses valeurs propres λModèle:Ind sont positives) en posantModèle:RetraitL'adjoint de la projection PModèle:Ind ∈ MModèle:Ind(ℂ), de ℂModèle:Exp sur sa kModèle:E copie dans ℂModèle:Exp⊗ℂModèle:Exp = ⊕Modèle:Ind ℂModèle:Exp, est l'inclusion PModèle:Ind* ∈ MModèle:Ind(ℂ) de ℂModèle:Exp comme kModèle:E facteur de la somme directe etModèle:RetraitEn définissant les opérateurs VModèle:Ind ∈ MModèle:Ind(ℂ) sur la base canonique de ℂModèle:Exp parModèle:Retraiton obtientModèle:Retraitd'où, par linéarité :Modèle:Retraitdonc Φ est complètement positive.
Conséquences
Opérateurs de Kraus
Dans le contexte de la théorie de l'information quantique, les VModèle:Ind permettant d'écrire l'application complètement positive Φ, dans la preuve du théorème de Choi, sous la forme Modèle:Retrait sont appelés « les » opérateurs de Kraus de Φ (d'après Karl Kraus) mais une telle famille n'est pas unique. Par exemple toute décomposition de la matrice (positive) de Choi sous la forme Modèle:Nobr — sans que B soit nécessairement positive, c'est-à-dire égale à l'unique racine carrée positive de CModèle:Ind — donne une famille d'opérateurs de Kraus. En effet, en notant bModèle:Ind, … , bModèle:Ind les colonnes de B*, la matrice CModèle:Ind est la somme des bModèle:Ind bModèle:Ind* et une telle écriture fournit, comme dans la preuve du théorème de Choi, une famille d'opérateurs de Kraus pour Φ.
La famille d'opérateurs de Kraus particulière obtenue à partir de la décomposition spectrale de CModèle:Ind — avec vecteurs propres deux à deux orthogonaux — est constituée de matrices deux à deux orthogonales pour le produit scalaire de Hilbert-Schmidt.
Si deux familles d'opérateurs de Kraus (AModèle:Ind)Modèle:IndModèle:Exp et (BModèle:Ind)Modèle:IndModèle:Exp représentent la même application complètement positive Φ, il existe une matrice unitaire d'opérateurs U ∈ MModèle:Ind(MModèle:Ind(ℂ)) telle que Modèle:Retrait C'est un cas particulier du lien entre deux Modèle:Lien minimales.
Il existe alors aussi une matrice unitaire de scalaires u ∈ MModèle:Ind(ℂ) telle que Modèle:Retrait Cela résulte du fait que pour deux matrices carrées M et N, M M* = N N* si et seulement s'il existe une matrice unitaire U telle que M = N U (voir Décomposition polaire).
Applications complètement copositives
L'application Φ est dite complètement copositive si sa composée Φ∘T par l'application de transposition est complètement positive. D'après le théorème de Choi, c'est le cas si et seulement si Φ est de la forme Modèle:Retrait
Applications préservant l'hermiticité
La technique de Choi peut être utilisée pour caractériser, de façon analogue, une classe plus générale d'applications linéaires : celles qui préservent l'hermiticité, c'est-à-dire qui envoient tout élément autoadjoint sur un élément autoadjoint. Pour une application Φ : MModèle:Ind(ℂ) → MModèle:Ind(ℂ), cela revient à dire que Φ envoie toute matrice hermitienne sur une matrice hermitienne, et l'on démontre qu'il en est ainsi si et seulement si Φ est de la forme
avec des λModèle:Ind réels. On peut choisir pour λModèle:Ind les valeurs propres de CModèle:Ind et pour VModèle:Ind les matrices correspondant à des vecteurs propres associés.