Décomposition polaire

La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes.

Décomposition polaire d'une matrice réelle

• Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

  $\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{O}}_n(ℝ)\times {\mathrm{S}}_n^{++}(ℝ)& \to & {\mathrm{GL}}_n(ℝ)\\ (Q,S)& \mapsto & QS\end{array}\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{O}}_n(ℝ)\times {\mathrm{S}}_n^{++}(ℝ)& \to & {\mathrm{GL}}_n(ℝ)\\ (Q,S)& \mapsto & SQ.\end{array}$

  En particulier, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive.

• Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives :

  $\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{O}}_n(ℝ)\times {\mathrm{S}}_n^{+}(ℝ)& \to & {\mathrm{M}}_n(ℝ)\\ (Q,S)& \mapsto & QS\end{array}\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{O}}_n(ℝ)\times {\mathrm{S}}_n^{+}(ℝ)& \to & {\mathrm{M}}_n(ℝ)\\ (Q,S)& \mapsto & SQ.\end{array}$

  En particulier, toute matrice réelle se décompose en produit d'une matrice orthogonale et d'une unique matrice symétrique positive (mais pas nécessairement de façon unique).

Décomposition polaire d'une matrice complexe

• Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

  $\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{U}}_n(ℂ)\times {\mathrm{H}}_n^{++}(ℂ)& \to & {\mathrm{GL}}_n(ℂ)\\ (Q,S)& \mapsto & QS\end{array}\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{U}}_n(ℂ)\times {\mathrm{H}}_n^{++}(ℂ)& \to & {\mathrm{GL}}_n(ℂ)\\ (Q,S)& \mapsto & SQ\end{array}$

  En particulier, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne définie positiveModèle:,.

• Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :

  $\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{U}}_n(ℂ)\times {\mathrm{H}}_n^{+}(ℂ)& \to & {\mathrm{M}}_n(ℂ)\\ (Q,S)& \mapsto & QS\end{array}\{\begin{array}{ccc}{\mathrm{U}}_n(ℂ)\times {\mathrm{H}}_n^{+}(ℂ)& \to & {\mathrm{M}}_n(ℂ)\\ (Q,S)& \mapsto & SQ.\end{array}$

  En particulier, toute matrice complexe se décompose en produit d'une matrice unitaire et d'une unique matrice hermitienne positive (mais pas nécessairement de façon unique).

Remarque. Pour n = 1, on retrouve l'écriture $z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.

Application

L'ensemble des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives est convexe (2 matrices symétriques positives sont reliées par un segment à valeur dans SO(R)) donc contractile. Il en résulte que ${\mathrm{GL}}_n(ℝ)$ a le même type d'homotopie que ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$ et que ${\mathrm{GL}}_n(ℂ)$ a le même type d'homotopie que ${\mathrm{U}}_n(ℂ)$.

Notes et références

• Modèle:MneimnéTestard Modèle:P.
• Modèle:Lafontaine1 Modèle:P. et 330 de l'éd. 2010 : « Décomposition de Cartan du groupe linéaire »