Brique d'Euler

Une brique d'Euler est un parallélépipède rectangle dont les arêtes et les diagonales des faces ont des longueurs entières. Appelée aussi brique de Pythagore Modèle:,, elle porte le nom du mathématicien Leonhard Euler qui en a déterminé des familles infinies en 1771Modèle:,.

Brique d'Euler avec côtés a,b,c et diagonales des faces d,e,f.

Formulation arithmétique

Les dimensions d'une brique d'Euler correspondent à une solution en nombres entiers strictement positifs du système d'équations diophantiennes :

$\{\begin{array}{c}{a}^2+b^2=d^2\\ a^2+c^2=e^2\\ b^2+c^2=f^2\end{array}$

où Modèle:Mvar sont les longueurs des arêtes de la brique et Modèle:Mvar les longueurs des diagonales des faces.

Si Modèle:Formule est une solution, alors Modèle:Formule est aussi une solution pour tout entier strictement positifs Modèle:Formule. On désigne donc par brique primitive une brique où Modèle:Mvar sont premiers entre eux.

Fac-similé du texte de Paul Halcke, demandant de trouver trois carrés tels que si on en additionne deux, viennent alors trois carrés : 44²=1 936, 240²=57 600, 117²=13 689.

Exemples

La brique d'Euler de plus petit volume Modèle:Mvar a été découverte en 1719, non par Euler, mais par Modèle:Lien  ; elle a pour côtés Modèle:Formule et pour diagonales des faces (Modèle:Mvar) = (125, 244, 267).

Sont représentées ci-dessous les cinq briques d'Euler primitives dont les dimensions sont inférieures à mille.

Si l'on classe les briques d'Euler primitives par ordre croissant de la plus grande arête, les listes des longueurs des plus grandes arêtes, des arêtes intermédiaires, et des plus petites arêtes sont données par les suites de l'OEIS : Modèle:OEIS2C,Modèle:OEIS2CModèle:OEIS2C.

Propriétés

• Si Modèle:Formule sont les dimensions d'une brique d'Euler, alors la brique de dimensions Modèle:Formule est également une brique d'Euler, de diagonales Modèle:Formule.

Modèle:DémonstrationSi la brique de départ est primitive, et si on divise les termes de Modèle:Formule par leur PGCD, on obtient une brique primitive dite conjuguée de celle de départ (la conjuguée de la conjuguée redonnant la brique de départ) . Par exemple, les deux grandes briques de dimensions (160, 231, 792) et (140, 480, 693) du dessin ci-dessus sont conjuguées.

• Parmi les nombres Modèle:Mvar, l'un est multiple de 4, un autre, multiple de 16, l'un est multiple de 3 et un autre multiple de 9, l'un est multiple de 5, et l'un est multiple de 11. Le volume Modèle:Mvar de la brique est donc divisible par $64\times 27\times 5\times 11=95040$ Modèle:,. Par exemple, le volume de la plus petite brique d'Euler est $1235520=13\times 95040$ .

Familles infinies

Une famille infinie de briques d'Euler a été trouvée par Nicholas Sounderson en 1740 dans son ouvrage "The Elements of Algebra, in Ten Books" Modèle:,, donc antérieurement à la publication d'Euler, qui a redécouvert cette famille .

Soit $(u,v,w)$ un triplet pythagoricien (vérifiant donc $u^2+v^2=w^2$) alors :

$a=u|4v^2-w^2|,b=v|4u^2-w^2|,c=4uvw$ sont les arêtes d'une brique d'Euler,

et $d=w^3,e=u(4v^2+w^2),f=v(4u^2+w^2)$ en sont les diagonales.

Par exemple, le triplet pythagoricien minimal (3, 4, 5) fournit la brique minimale (44, 117, 240).

Malheureusement cette famille ne donne pas toutes les briques d'Euler (remarquer que Modèle:Mvar est un cube) comme par exemple la brique d'Euler d'arêtes (Modèle:Mvar) = (240, 252, 275) et de diagonales (Modèle:Mvar) = (348, 365, 373) .

Il existe d'autres familles infinies, mais on n'a pas trouvé de famille recouvrant tous les cas possibles, comme pour les triplets pythagoriciens .

Brique d'Euler parfaite

Une brique d’Euler est dite parfaite si la diagonale principale qui joint deux sommets opposés a également une longueur entière. Aucune brique de Sounderson ci-dessus n'est parfaite, ni aucune de leurs conjuguées , et aucun exemple de brique parfaite n’est connu à ce jour, mais on n'a pas démontré non plus leur inexistence.

Articles connexes

• Triplet pythagoricien
• Brique d'Euler parfaite
• Triangle de Héron (côtés et aire entiers)
• Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler