Cap-produit

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, le cap-produit est une opération binaire qui permet d'assembler des chaînes et des cochaînes. Elle a été introduite par Eduard Čech en 1936 et indépendamment par Hassler Whitney en 1938.

Définition

Soit X un espace topologique et A un anneau. Le cap-produit est une application bilinéaire définie sur les chaines et les cochaines singulières

$⌢:C_p(X;A)\times C^q(X;A)\to C_{p-q}(X;A)$

en posant

$\sigma ⌢\psi =\psi (\sigma {|}_{[v_0,\dots ,v_q]})\sigma {|}_{[v_q,\dots ,v_p]},$

avec $\sigma :{\mathrm{\Delta }}^p\to X$ et $\psi \in C^q(X;A)$ et où $\sigma {|}_{[v_0,\dots ,v_q]}$ est la restriction de l'application simpliciale $\sigma$ à la face engendrée par les vecteurs $v_0,\dots ,v_q$.

Propriétés

• On a la formule $\partial (\sigma ⌢\psi )=(-1{)}^q(\partial \sigma ⌢\psi -\sigma ⌢\delta \psi )$.

Elle implique que le cap-produit d'un cycle avec un cocycle est un cycle ; le cap-produit d'un cycle et d'un cobord est un bord ; et le cap-produit d'un bord et d'un cocycle est un bord.

Ceci permet de définir un cap-produit en homologie et cohomologie :

$⌢:H_p(X;A)\times H^q(X;A)\to H_{p-q}(X;A).$

• Le cap-produit et le cup-produit sont reliés par la relationModèle:RetraitoùModèle:Retrait