Cardinal mesurable

En mathématiques, un cardinal mesurable est un cardinal sur lequel existe une mesure définie pour tout sous-ensemble. Cette propriété fait qu'un tel cardinal est un grand cardinal.

Définitions et propriétés de grand cardinal

Définition d'un cardinal mesurable

Un cardinal mesurable est un cardinal non dénombrable Modèle:Mvar tel qu'il existe une mesure Modèle:Mvar non triviale, Modèle:Mvar-additive, à valeurs dans $\{0,1\}$, définie sur tous les sous-ensembles de Modèle:Mvar ; Modèle:Mvar est donc une application de l'ensemble des parties de Modèle:Mvar vers $\{0,1\}$ telle que :

1. Pour toute famille ${\left(E_i\right)}_{i\in \alpha }$ (avec Modèle:Mvar < Modèle:Mvar) de sous-ensembles de Modèle:Mvar disjoints deux à deux, on a : $\mu \left(\bigcup _{i\in \alpha }{E}_i\right)=\sum _{i\in \alpha }\mu (E_i)$ ;
2. $\mu (\kappa )=1$ et $\mathrm{\forall }x\in \kappa ,\mu (\{x\})=0$.

Interprétation par ultrafiltre

Cela revient à dire qu'il existe sur Modèle:Mvar un ultrafiltre Modèle:Mvar (formé des sous-ensembles de mesure 1), non trivial et Modèle:Mvar-additif, c'est-à-dire que l'intersection de toute famille de Modèle:Mvar éléments de Modèle:Mvar (avec Modèle:Mvar < Modèle:Mvar) est encore dans Modèle:Mvar, ou encore que la réunion de toute famille de Modèle:Mvar éléments non dans Modèle:Mvar n'appartient pas non plus à Modèle:Mvar. Les cardinaux mesurables furent introduits en 1930 par Stanislaw Ulam, qui montra que le plus petit cardinal Modèle:Mvar possédant une mesure (complète) dénombrablement additive devait en fait posséder une mesure Modèle:Mvar-additive.

Mesure normale et axiome du choix

Si Modèle:Mvar est un cardinal mesurable, on démontre qu'il existe sur Modèle:Mvar une mesure normale Modèle:Mvar, c'est-à-dire une mesure telle que pour toute application $f:\kappa ⟶\kappa$ telle que $f(\alpha )<\alpha$ pour presque tous les Modèle:Mvar < Modèle:Mvar, il existe un Modèle:Mvar < Modèle:Mvar tel que $f(\alpha )=\beta$ pour presque tous les Modèle:Mvar < Modèle:Mvar (« presque tous » étant entendu [[presque partout|au sens de la mesure Modèle:Mvar]]). Les constructions d'ultraproduits qui seront exposées dans la prochaine section utilisent des mesures normales.

Sans l'axiome du choix, il est parfaitement possible qu'un cardinal mesurable soit un successeur, et l'axiome de détermination entraîne même que Modèle:Formule est un cardinal mesurable. En revanche, l'axiome du choix implique que tout cardinal mesurable est inaccessible.

On voit ainsi qu'un axiome de grand cardinal peut n'avoir ce statut que par rapport à un système donné. La section suivante montrera en fait que, toujours en admettant l'axiome du choix (ce que nous ferons désormais sans le préciser), un cardinal mesurable est Modèle:Lien, Ramsey, etc.

Cardinaux mesurables, ultraproduits, et théorie des modèles

Les résultats les plus intéressants concernant les cardinaux mesurables furent obtenus (en 1961) par Jerome Keisler et Dana Scott, en utilisant la construction d'ultraproduits indexés par Modèle:Mvar (et quotientés par l'ultrafiltre correspondant à une mesure, le plus souvent choisie normale). Ils montrèrent en particulier que Modèle:Mvar est mesurable équivaut à ce que Modèle:Mvar est le Modèle:Lien d'un Modèle:Lien de l'univers Modèle:Mvar dans une classe transitive Modèle:Mvar, d'où l'on déduit facilement que Modèle:Mvar est un grand cardinal, Mahlo, ineffable, RamseyModèle:Etc. ; ces démonstrations sont souvent rendues plus faciles en utilisant des mesures normales (dont l'existence, elle, est assez délicate à montrer).

On démontre par ailleurs qu'une mesure est normale sur Modèle:Mvar si et seulement si tout ensemble de mesure 1 est stationnaire dans Modèle:Mvar ; une caractérisation des mesures normales dans le langage des ultraproduits (et de l'analyse non standard) est que si *f(*κ)<*κ, alors *f est constante (ici, *f est le prolongé de f à l'ultraproduit κ^κ/U, et *κ désigne la classe d'équivalence de la fonction identité).

Mesures à valeurs réelles

On dit qu'un cardinal Modèle:Mvar est mesurable (à valeurs réelles) s'il existe une Modèle:Lien (à valeurs réelles) Modèle:Mvar-additive sur l'ensemble des parties de Modèle:Mvar. L'hypothèse du continu (à savoir $𝔠={\mathrm{\aleph }}_1$) implique que $𝔠$ n'est pas mesurable à valeurs réelles ; d'autre part, tout cardinal mesurable (à valeurs réelles) est Modèle:Lien. Solovay a montré que (dans ZFC) l'affirmation de l'existence de cardinaux mesurables et celle de l'existence de cardinaux mesurables à valeurs réelles sont des axiomes équicohérents.

Notes et références

Références

• Modèle:De Stefan Banach, « Über additive Massfunktionen in absrakten Mengen », dans Fundam. Math., vol. 15, 1930, p. 97–101
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage
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• Modèle:Chapitre
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